© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Matrices Vermenigvuldigen.
       
De eerste brugklassen van een middelbare school houden elk jaar een aantal schoolfeesten. Er zal op elk feest bier, wijn en frisdrank te drinken zijn. Aan het begin van het jaar vraagt de feestcommissie in een enquêtes hoeveel drank van elke soort iedereen zo gemiddeld op zo'n feest drinkt..
Dat levert de volgende drankmatrix (D), waarin per leeftijdscategorie (12, 13, 14 jaar) staat aangegeven hoeveel er gemiddeld per persoon wordt gedronken op zo'n feest.
       

     

In februari is het weer zover; er wordt weer een feest georganiseerd.
Om te weten hoeveel drank er ingekocht moet worden is het natuurlijk nog nodig om in te schatten hoeveel personen er ongeveer op dit feest zullen komen. Die gegevens staan in de opkomstmatrix (O) hiernaast.
 
Met deze gegevens kun je nu vrij eenvoudig uitrekenen hoeveel bier er besteld moet worden. Er zijn immers 50  12-jarigen die per persoon gemiddeld 0,2 liter drinken, dus dat is 0,2 • 50 = 10 liter. Verder zijn er 83  13-jarigen en die drinken samen 0,8 • 83 = 66,4 liter. Tenslotte drinken de 14-jarigen naar verwachting 1,1 • 32 = 35,2 liter bier.
Er zal dus (schatting) 10 + 66,4 + 35,2 = 111,6 liter bier gedronken worden  (natuurlijk is dat precieze getal nogal overdreven; het is maar een schatting).

We hebben dat aantal liter als volgt berekend:     0,2 • 50 + 0,8 • 83 + 1,1 • 32  = 111,6

Als je goed naar de matrices D en O kijkt zie je dat hier de getallen uit de eerste rij van D worden vermenigvuldigd met de (enige) kolom van O. Het vermenigvuldigen van een rij met een kolom heet een inproduct en dat ziet er dus zó uit:
       

       
Voor de andere soorten drank kun je ook zulke inproducten (rij maal kolom) opstellen, en die twee zien er zó uit:
       

       

       
Deze drie inproducten kun je ook onder elkaar zetten in één matrixvermenigvuldiging, en dan ziet dat er zó uit:
       

       
Het kan natuurlijk ook dat er bij een matrixvermenigvuldiging in die tweede matrix ook meerdere kolommen staan. Stel bijvoorbeeld dat er bij een later feest  60 12-jarigen en  55 13-jarigen en  45 14-jarigen worden verwacht. Dan kun je in één keer voor beide feesten de benodigde hoeveelheden drank berekenen met de volgende matrixvermenigvuldiging (O bestaat nu uit twee kolommen):
       

       
Ik hoop dat je ziet dat die zes getallen in dat antwoord alle zes zijn berekend door een inproduct te berekenen:  een rij van de eerste matrix vermenigvuldigd met een kolom van de tweede. Zo zie je dat het getal 259 in de derde rij en de tweede kolom van het antwoord staat, en het is dan ook berekend door de derde rij van D te vermenigvuldigen met de tweede kolom van O.  Kijk maar:
       

       
Kun je alle matrices met elkaar vermenigvuldigen?
       
Er is één voorwaarde:
Als je een inproduct berekent, dan vermenigvuldig je een rij met een kolom.
Dat doe je door de getallen op dezelfde plaats met elkaar te vermenigvuldigen, en dan die resultaten op te tellen.
Maar dan moeten er wel even veel getallen staan!
In de matrix hiernaast kun je die rode rij niet vermenigvuldigen met die groene kolom, want de rij heeft 2 getallen en de kolom 3. Deze vermenigvuldiging bestaat dus niet!

       
Zo'n rij van de eerste matrix en zo'n kolom van de tweede zijn wél even groot als de tweede matrix evenveel rijen heeft als de kolommen van de eerste. 
Dus als je een (a × b) matrix wilt vermenigvuldigen met een (c × d) matrix, dan moet gelden  b = c.

Als dat inderdaad zo is, dan kun je de vermenigvuldiging uitvoeren. Dus dan kun je alle a rijen van de eerste vermenigvuldigen met alle d kolommen van de tweede, en dan geeft dat een nieuwe matrix met afmetingen  a × d.
Conclusie:
       

(n × p) • (p × m)  =  (n × m)
       
Wat stelt het nou precies voor?
       
Stel dat we de drankmatrix D hierboven andersom hadden opgesteld, en de O-matrix gelijk hadden gehouden.
Dan zou dat de volgende vermenigvuldiging D • O hebben opgeleverd:
       

       
Maar als je nu de eerste rij vermenigvuldigt met de kolom, dan krijg je  0,2 • 50 + 0 • 83 + 1,8 • 32
Maar daar staat de grootste  ONZIN!!!
Je vermenigvuldigt nu bijvoorbeeld het frisgebruik van de 12-jarigen (1,8) met het aantal 14-jarigen (32).

Dat slaat nergens op!!

Zo'n inproduct slaat alleen ergens op als wat er boven de eerste matrix staat  hetzelfde is als wat er voor de tweede staat. Je moet wel getallen die bij elkaar horen met elkaar vermenigvuldigen!
Zó dus:
     

       
Dus hierboven geldt:  "Dat rode moet gelijk zijn, en dat groene en blauwe komt er uiteindelijk uit" In feite berekent zo'n matrixvermenigvuldiging de groene en blauwe eigenschappen waarbij alle rode samengenomen worden (bovenstaand eerste voorbeeld berekende de hoeveelheden drank voor al de leeftijden bij elkaar genomen).

Rijen of Kolommen optellen.
       
Hiernaast staat nog een keer de uitkomst van de hoeveelheden drank voor het eerste en het tweede feest uit bovenstaand voorbeeld.

Daarmee kun je nog twee andere vragen beantwoorden:

   
vraag 1: Hoeveel drank was er totaal op feest1? En op feest 2?
vraag 2: Hoeveel bier werd er in totaal op beide feesten samen gebruikt? En hoeveel wijn? En hoeveel fris?
       
Voor vraag 1 moet je de kolommen van de matrix optellen, en dat geeft voor feest 1:  111,6 + 32,6 + 267,6 = 411,8 liter en voor feest 2:  105,5 + 33,5 + 259 = 398 liter.
Maar dat optellen kun je ook met een matrixvermenigvuldiging doen. Als je een rij wilt optellen vermenigvuldig je gewoon met een kolom die uit allemaal enen bestaat. En wil je een kolom optellen dan vermenigvuldig je met een rij enen. Kijk maar hoe het werkt:
       

       
Links is vraag 1 beantwoord, rechts vraag 2.
       
 
 
OPGAVEN
   
1. (naar een examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1985)

Een fabrikant van tuinbenodigdheden brengt bouwpakketten op de markt voor schuurtjes (S), tuinhuisjes (T) en plantenkassen (P).

Voor elk van deze artikelen zijn hoeveelheden houten planken, glas en arbeid nodig.

Een schuurtje heeft 12 m2 hout, 2 uur arbeid en geen glas nodig. Voor een tuinhuisje is 8 m2 hout, 2 m2 glas en 8 uur arbeid nodig, en voor een plantenkas is geen hout nodig maar wel 15 m2 glas en 5 uur arbeid.
     
  a. Maak hiervan een 3 × 3 matrix M die aangeeft welke benodigdheden er voor elk bouwpakket nodig zijn.
     
  In een bepaalde week moeten er 120 schuurtjes en 70 tuinhuisjes en 50 plantenkassen geproduceerd worden.
     
  b. Zet deze gegevens in een matrix B en bereken het product G = M • B of G = B • M zodat het antwoord iets zinnigs voorstelt. Wat stelt het voor?
     
  c. Een m2 hout kost €20, een m2 glas kost  €40 en een uur arbeid kost €35.
Bereken door matrixvermenigvuldiging het aantal euro dat voor de productie van een  schuurtje, een tuinhuisje en een plantenkas nodig is. Noem je antwoordmatrix P.
   
  d. Vermenigvuldig B en P met elkaar. Wat stelt je antwoord voor?
     
2. Bereken de openstaande plekken in onderstaande matrixvermenigvuldiging.
     
 

     
3. Bij een grote supermarktketen verkoopt men drie merken suiker:  Zonnatura (Z), Van Gilse (G) en Amanprana (A)
Elke soort is te krijgen in drie varianten:  losse suiker (L), suikerklontjes (K) en suikerstaafjes (S).

Matrix K hiernaast geeft de verkoop (in kg) van de afgelopen week.
       
  Zonnatura heeft inkoopprijs  €0,66 per kg, van Gilse €0,75 en  Amanprana €0,82.
De verkoopprijzen zijn (in dezelfde volgorde)  €0,72  en €0,82  en  €0,95  per kg.

Beantwoord onderstaande vragen uitsluitend met matrixvermenigvuldiging.
       
  a. Zet deze gegevens in een matrix en bereken daarmee de totale  inkoop- en verkoopbedragen per suikervariant (los, klontjes, staafjes) afgelopen week.
       
  b. Bereken de totale WINST op deze suiker over de afgelopen week met een matrixvermenigvuldiging.
       
  Kaas bestaat vooral uit de ingrediënten  Glucose en Fructose..
Voor de drie bovengenoemde suikermerken geldt:

Zonnatura:  60% Glucose, 40% Fructose
van Gilse:  50% Glucose, 50% Fructose
Amanrana:  30% Glucose, 70% Fructose
       
  c. Hoeveel fructose en hoeveel  glucose heeft de supermarkt de afgelopen week verkocht met deze drie suikermerken?
       
4. a. Stel dat je een 3 ´ 2 matrix hebt, maar om de één of andere reden wil je de getallen van onderste rij verdubbelen.
Hoe kun je dat met een matrixvermenigvuldiging tot stand brengen?
         
  b. Stel dat je een 3 ´ 4 matrix hebt, maar om de één of andere reden wil je de derde en de vierde kolom met elkaar verwisselen.  Hoe kun je dat met een matrixvermenigvuldiging tot stand brengen?
         
5. Drie vriendinnen,  Anna, Bernice en Carola, werken alle drie in het centrum van een grote stad. Anna in Groningen, Bernice in Zwolle en Carola in Apeldoorn.
Ze wonen buiten de stad en gaan elke dag met de auto naar hun werk, die ze daar parkeren in een parkeergarage.

Ze hebben wel alle drie een abonnement op die garage, maar betalen toch nog  vrij veel: in Groningen betaal je 2,50 per uur, in Zwolle 2,00 per uur en in Apeldoorn  2,80 per uur.
  Het aantal uur dat ze in een week hebben geparkeerd zie je in de matrix P hiernaast.

       
  a. Bereken met matrixvermenigvuldigen hoeveel geld  er per dag totaal wordt uitgegeven aan parkeren
         
  b. Bereken met matrixvermenigvuldigen hoeveel uur Anna, Bernice en Carola elk in totaal aan per week aan parkeren moeten betalen.
         
  c. Bereken met matrixvermenigvuldigen hoeveel geld ze met zijn drieën in totaal aan parkeren uitgeven
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)