© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Twee soorten rijen.
Hieronder staan een aantal "verhaaltjes" waar een rij getallen bij hoort.
Schrijf die rijen getallen op en probeer ze in twee categorieën te verdelen. Doe dat door van elke rij een recursievergelijking te maken.
       
     

recursievergelijking:
  a. Ik heb een  bedrag van €400,- op een bankrekening staan en krijg daarover elk jaar 3% rente.

un = 1,04· un-1  met u0 = 400
  b. Je reactievermogen wordt slechter als je meer glazen alcohol hebt gedronken. In het verkeer is de reactietijd van een proefpersoon gelijk aan 0,8 seconden. Bij elk gedronken glas alcohol wordt die tijd 0,2 seconden langer.

un = un-1 + 0,2  met u0 = 0,8
  c. Een jongetje heeft met Sint Maarten in totaal 126 snoepjes opgehaald. In de volgende dagen eet hij er daarvan elke dag 7 op.
un = un-1 - 7  met u0 = 126
  d. Over het ontstaan van het schaakspel doet het volgende verhaal de ronde. De uitvinder ervan (Sissa) mocht van zijn koning als beloning vragen wat hij maar wilde. Hij vroeg één graankorrel voor het eerste veld van het schaakbord, twéé voor het tweede veld, vier voor het derde veld, acht voor het vierde veld, enz. Dat leverde hem een boel graankorrels op!

un = 2 • un - 1  met  u1 = 1
  e. De eerste keer dat men een oproep om geld te doneren aan een goed doel uitzendt levert dat 45000 donaties op. Elke volgende keer wordt dat aantal donaties kleiner omdat het aantal nieuwe mensen dat bereikt wordt kleiner wordt. Het blijkt dat het aantal donaties bij elke volgende uitzending steeds ongeveer 10% kleiner wordt.

un = 0,9un -1  met  u1 = 5800
  f. Bij een sponsorloop krijgt Danieke van haar buurvrouw  €4,-  en verder voor elk rondje dat ze loopt nog eens €0,15 extra.

un = un - 1 + 0,15  met  u0 = 4

g. Ik heb een spaarbedrag van  €35000,- in een sok gestopt en die bewaar ik onder mijn bed. Door de inflatie wordt het bedrag elk jaar 2% minder waard.
un = un-1•0,98  met u0 = 35000
Welke horen bij elkaar?
Heb je intussen door dat hier twee verschillende systemen aan 't werk zijn?

a-d-e-g  horen bij elkaar, en b-c-f  ook......

Dat komt hierdoor: 

• Bij  a-d-e-g  ziet de recursievergelijking eruit als  un = un-1 +  a  (waarbij a eventueel een negatief getal is).
De regelmaat van deze rijen is, dat de opeenvolgende termen steeds PLUS hetzelfde getal zijn.
Zo'n rij noemen we een rekenkundige rij.
• Bij b-c-f   ziet de recursievergelijking er uit als  un = un-1 • a. 
De regelmaat van deze rijen is, dat de opeenvolgende termen steeds KEER hetzelfde getal zijn.
Zo'n rij noemen we een meetkundige rij.
Dus:

Weet je het nog?
Nou hoop ik dat dit je ergens bekend voorkomt....
Dat je nu een Déja Vu hebt....

Weet je het nog?
We zijn deze twee systemen  ("PLUS" en "KEER") namelijk ook al eerder bij functies tegengekomen. Toen heette het PLUS-systeem "lineair"  (in plaats van rekenkundig) en het KEER-systeem "exponentieel"  (in plaats van meetkundig).

Weet je het nog?
Dat PLUS-getal heette bij lineaire functies het hellinggetal (of ook wel richtingscoëfficiënt) en dat KEER-getal heette bij exponentiële functies de groeifactor.

Weet je het nog?
We hadden toen ook formules voor deze twee systemen. De lineaire formule was  y = ax + b en de exponentiële formule was  y = B • gx 
Directe formules voor rijen.
Maar toen, vroeger, lang geleden, toen hadden we nog nooit van rijen gehoord. Toen hadden we geen recursieformules, maar gewone formules, waar je een x kon invullen en waar dan een y uitkwam. Omdat een meetkundige en een rekenkundige rij in feite hetzelfde zijn als een lineair en een exponentiele functie kunnen we voor dit soort rijen ook de "gewone" formule van vroeger natuurlijk gebruiken. Daarbij is de x nu vervangen door een n  en de y door een un.
Zo'n "gewone" formule heet bij rijen een directe formule. Het woord zegt het eigenlijk al: je kunt een un direct uitrekenen als je n weet, zonder alle vorige un te moeten berekenen.

Maar er zijn twee belangrijke verschillen:

Verschil 1.   Rijen zijn discreet.

Denk er goed om dat de n-waarden alleen gehele getallen kunnen zijn. 't Zijn immers de nummers?
Dat betekent ook dat een eventuele grafiek er niet uit zal zien als een kromme, maar als een verzameling losse stippen. 
Vergelijk de volgende twee figuren met elkaar:

   

Verschil 2.   De beginwaarde.


Bij functies was het allemaal makkelijk:  Bij de formules y = ax + b  en   y = B • gx  waren de constanten  b en B de beginwaarden. Dat stelde voor de y die hoorde bij x = 0  (in de grafiek het snijpunt met de y-as). Maar we hebben al gezien dat bij rijen de eerste soms u0 heet en soms u1. Dat hangt een beetje van het verhaaltje eromheen af. soms is het logischer om de eerste u0 te noemen en soms is u1 logischer.
Kijk nog maar eens naar de verhaaltjes helemaal bovenaan. Bij twee daarvan (d en e) vond ik het logischer om de eerste van de rij u1 te noemen. Jij ook????

Als de eerste u0 heet, dan is er niks aan de hand, dan kun je voor een directe formule gewoon u0 = beginwaarde = b / B nemen. Maar als de eerste u1 heet, dan moet je uitkijken; kijk maar:
   
  voorbeeld.
Geef een directe formule voor de rij  u1 = 3, u2 = 7, u3 = 11,  u4 = 15, ...
Je ziet natuurlijk dat dit een rekenkundige rij is, dus de directe formule heeft de vorm un = a • n + b.
Daarbij is a  het getal dat er steeds bijkomt, dus in dit geval a = 4. Maar als je nu zonder na te denken voor het begingetal b = 3 neemt staat er un = 4n + 3 en dat klopt niet!  Dat zou bijvoorbeeld geven u4 = 4 • 4 + 3  =19 en je ziet in de rij dat u4 gelijk is aan 15.
Er zijn twee mogelijke oplossingen voor dit probleem:
     
 
  Oplossing 1.
Bereken wat u0 zou zijn geweest als hij had bestaan en neem dat als beginwaarde.
Dat zou in dit geval geven u0 = 3 - 4 = -1 = b   en dus  un = 4n - 1 en die klopt wél.
       
  Oplossing 2.
Vervang n in de vergelijking door n - 1
Dat zou in dit geval geven  un = 4(n - 1) + 3  en die klopt ook.
(en als de rij bijvoorbeeld was begonnen met u4, dan vervingen we n door n - 4 natuurlijk...)
       
   
Samengevat:
   
 

   
 
 
 OPGAVEN
   
1. Geef van de volgende rijen een directe vergelijking en een recursievergelijking
Noem de eerste van de rij nummer 1.
         
  a. 12  -  26  -  40  -  54  -  68  -  ....
       
  b. 40  -  60  -  90  -  135  -  ....
         
2. De schaal van Richter is de eerste schaal voor aardbevingen waarmee een schatting gegeven wordt van de energie die bij een aard- of zeebeving vrijkomt.

Bij een aardbeving met een grootte van 2 komt een energie van 3·107 Joule vrij
Bij een aardbeving met een grootte van 5 komt een energie van 1·1012  Joule vrij.

Deze hoeveelheden vrijgekomen energie vormen een meetkundige rij un , waarbij n het nummer op de schaal van Richter is en u de hoeveelheid vrijgekomen energie.
         
  a. Stel een directe en een recursieve formule op voor de vrijgekomen energie un van een aardbeving met grootte n op de schaal van Richter.
         
  b. Bereken vervolgens met beide formules de hoeveelheid vrijgekomen energie bij een beving met grootte 5,5 op de schaal van Richter.
         
3. Voor een rij getallen geldt dat  u5 = 180  en  u9 =  5000.
         
  a. Bereken u9 als het een rekenkundige rij is.
         
  b. Bereken u9 als het een meetkundige rij is.
         
4. He aantal leden (L)  van de Nederlandse Bridgebond (NBB) neemt de laatste jaren regelmatig af.
Elk jaar verliest men gemiddeld  195 leden.
In 2024 waren er nog 68000 leden.
De contributie (C) van de bond wordt elk jaar verhoogd met 3%, en in 2024 was die contributie  €32,50 per jaar.

Noem het jaartal n met n = 1  voor 2024.
         
  a. Geef een recursievergelijking en een directe vergelijking voor  L(n)
         
  b. Geef een recursievergelijking en een directe vergelijking voor  C(n)
         
  Noem het totale bedrag dat de NBB aan contributie ontvangt  B(n).
         
  c. Geef een recursievergelijking en een directe vergelijking voor  B(n)
   
  d. Bereken met beide formules van vraag c) wanneer er voor het eerst minder dan €4000000 aan contributie ontvangen zal worden
   
5. Gegeven is de rij breuken:  4/10   9/18   14/26    19/34    24/42    .....
         
  a. Geef van zowel de rij getallen in de tellers als die in de noemers de directe formule.
Noem de eerste uit de rij steeds u1.
         
  b. Geef de directe formule van de rij breuken.
         
  c. Bij welke grenswaarde komt de rij steeds dichter te liggen? Vanaf welke n verschilt un minder dan 0,01 van deze grenswaarde?
         
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)