absolute waarde (2)

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Modulusfunctie

Soms wil je gewoon graag dat iets positief is. Normale mensen denken dan natuurlijk meteen aan het saldo op hun bankrekening, maar wiskundigen hebben vaak een andere kijk op de zaak. Die willen graag dat functies die bijvoorbeeld de afstand tussen twee punten of een oppervlakte een positief getal opleveren.
Om te zorgen dat iets positief wordt hebben ze daarom een aparte notatie verzonnen; twee verticale strepen ergens omheen maken het positief.
Voorbeelden:

| 3 | = 3

| -5 | = 5

| 2 - 6 | = 4

| 5 - 2 | = 3

In het algemeen geldt:

De functie f(x) = | x | heet de modulusfunctie

Gevolgen voor eenvoudige vergelijkingen.

Voor eenvoudige vergelijkingen met modulus erin moet je er steeds op bedacht zijn dat er twee mogelijke oplossingen zijn, namelijk positief en negatief.

Voorbeeld: Los op: | 2x - 10 | = 6

Oplossing:
Deze vergelijking heeft twee mogelijkheden, namelijk 2x - 10 = 6 of 2x - 10 = -6 (want in beide gevallen is het 6 als je het positief maakt)

Dat geeft dus oplossingen x = 8 of x = 2.

Gevolgen voor eenvoudige grafieken.

Voor grafieken betekent het dat ze altijd positief zijn, dus boven de x-as. De stukken die onder de x-as zitten worden door zulke modulusstrepen "omgeklapt". Bekijk de volgende paren grafieken maar:

Moeilijkere gevallen.

We gaan nu wat "spannender" gevallen bekijken, met steeds in ons achterhoofd die hoofdregel.
Het gaat dan vooral om de gevallen waarin dat stuk tussen die modulusstrepen slechts een deel is van een groter vergelijking of formule.
De algemeen oplossing voor zulke gevallen is:

Splitsen die boel!!

Splits het stuk wat tussen die strepen staat. Als het positief is, dan kun je de strepen gewoon weglaten. Als het negatief is, dan kun je ze ook weglaten, maar dan moet je het positief maken door er een extra minteken voor te zetten.

Voorbeeld:

Het resultaat van dat splitsen is dat je twee "gewone" formules overhoudt zonder die vervelende modulusstrepen.
Dat werkt ook bij ingewikkelder vergelijkingen, kijk maar:

Voorbeeld.

Nu zijn twee formules overgebleven (4 + 2x² - 4x en 4 - 2x² + 4x) waar geen vervelende modulus meer in voorkomt. Bedenk wel dat de eerste formule alleen geldig is voor x > 2 en de tweede alleen voor x < 2.

De grafiek van y = 4 + x • │2x - 4│ ziet er bijvoorbeeld uit als hiernaast.

Het zijn twee delen van parabolen.
de parabool y = 4 + 2x² - 4x voor x > 2 (de rode parabool)
de parabool y = 4 - 2x² + 4x voor x < 2 (de blauwe parabool)

En voor vergelijkingen gaat het natuurlijk precies zo!

Stel dat je moet oplossen   4 + x • │2x - 4│ = 5
Dan geeft dat na het splitsen twee nieuwe vergelijkingen:

1:   4 + 2x² - 4x = 5    voor   x > 2
2:   4 - 2x² + 4x = 5 voor x < 2

Die zijn apart eenvoudig op te lossen. Bedenk wel dat je van de eerste vergelijking alleen de oplossingen die groter dan 2 zijn mag nemen, en van de tweede alleen de oplossingen die kleiner dan 2 zijn.

De oplossingen van de eerste vergelijking zijn ongeveer 2,22 en -0,22 en daar blijft alleen 2,22 van over. Vanwege de voorwaarde x > 2

De oplossingen van de tweede vergelijking zijn ongeveer 0,29 en 1,71 en die zijn beide goed (kleiner dan 2)

De vergelijking heeft dus 3 oplossingen, zoals je hiernaast in de grafiek inderdaad ziet.
Inderdaad twee snijpunten met de blauwe grafiek en eentje met de rode.

Hoe zie je waar je moet splitsen?

Dat is erg eenvoudig: de grensgevallen zijn de x-waarden waar "dat wat tussen de modulus-strepen staat" nul is.
Dat kan soms wel op meerdere plekken zijn.

*Voorbeeld.* Los op x + │x² - 4│ = 1 Oplossing: Los eerst op x² - 4 = 0 (alleen het stuk tussen de modulus-strepen). Dat geeft x = 2 en x = -2 Voor x < -2 is het stuk tussen de strepen positief. Voor -2 < x < 2 is het stuk tussen de strepen negatief. Voor x > 2 is het stuk tussen de strepen positief. Daarom splitsen we als volgt:


dan hebben we twee vergelijkingen over: 1. x + x² - 4 = 1 voor x > 2 of x < -2 2. x - x² + 4 = 1 voor -2 < x < - 2 De oplossing van de eerste vergelijking is x = 1,79 of x = -2,79 en alleen die tweede is goed De tweede vergelijking heeft oplossingen -1,30 en 2,30 en alleen die eerste is goed. Dus heeft deze vergelijking twee oplossingen: x = -2,79 of x = -1,30. Hiernaast zie je de grafiek met die oplossingen.

Drie (of zelfs meer) functievoorschriften...

Neem bijvoorbeeld de functie f(x) = │x - 2│+ x • │2x - 8│
Je moet splitsen waar die stukken tussen de modulusstrepen nul zijn. Dat is bij x = 2 en bij x = 4.
Daarom krijg je drie "gebieden":

•

als x < 2 dan zijn beide stukken tussen die strepen negatief, dus moet er, om de strepen weg te halen, een extra min voor worden gezet.
Dat geeft f(x) = -(x - 2) + x • -(2x - 8) = -2x² + 7x + 2

•

als 2 < x < 4 dan is het eerste stuk positief, en het tweede negatief, dus alleen voor het tweede moet een minteken komen.
Dat geeft f(x) = (x - 2) + x • -(2x - 8) = -2x² + 9x - 2

•

als x > 4 is alles positief en kunnen alle strepen weg.
Dat geeft f(x) = (x - 2) + x(2x - 8) = 2x² - 7x - 2

OPGAVEN

1.	Los op (rond indien nodig af op 2 decimalen):

	a.	│4 - x │ · x = 12

	b.	x • │6 - x│ - 4x = 0

	c.	2 ·│x - 4│ = │7 - x│

2.	Splits de volgende functievoorschriften in voorschriften zonder modulusstrepen.

	a.	f (x) = 3│2 - 5x│ - 4│x + 8│

	b.	g(x) = -3x •│x² - 6x + 5│

	c.	h(x) = │2x - │6 - x││

3.	Schets de grafiek van f(x) = \| \| 2x \| - 10 \|

4.	De functie f is gegeven door:



	a.	Los op: f(x) < -¹/₄x

	b.	Teken de grafiek van f.

5.	Gegeven is de functie: f(x) = \|3 - Ö(6x - 2)\|
	Een lijn y = a met a ∈ 〈 0,3 ] snijdt de grafiek van f in de punten A en B. Bewijs dat AB = 2a.