© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De momentenstelling.
       
Voor twee massa's M1 en M2  ontdekten we in de vorige les dat het zwaartepunt van die twee op hun verbindingslijn ligt, en bovendien dat voor de afstanden r1 en r2 tot dat zwaartepunt geldt:
       
  M1r1  =  M2r2
       
Laten we eens een geval van twee puntmassa's op de x-as bekijken.
       

       
Een massa van 3 bij x = 2 en een massa van 6 bij x = 9
Bekijk het totale moment van die twee massa's ten opzichte van de oorsprong:
M = M1r1  +  M2r2  = 3 • 2 + 6 • 9
Als we alle massa samennemen in het zwaartepunt, dan is het totale moment  M = (3  + 6) • z  waarbij z de plaats (x- coördinaat) van het zwaartepunt is. Dus moet gelden:
3 • 2 +  6 • 9 = (3 +  6) • z    geeft  60 = 9z  dus  z =  60/9   = 62/3
       

       
Laten we niet teveel focussen op die getallen.
Als de massa's  m1 en m2 zijn, en de plaatsen  x1 en x2,
dan geldt volgens deze redenering:      m1 • x1 + m2 • x2 = z • (m1 + m2)

En voor een groter aantal massa's geldt precies dezelfde redenering:  De som van de afzonderlijke momenten is gelijk aan het moment van  de totale massa in het zwaartepunt.
       

m1 • x1 + m2 • x2 + m3 • x3 + ....  =  z • (m1 + m2 + m3 + ...) = z • M
       
Daarbij is M de totale massa.

En nu tweedimensionaal.

Daarvoor is het eerst van belang te beseffen dat de afstand r  loodrecht op de kracht F wordt gemeten:
       

       
Als er nou meerdere  massa's verdeeld zijn over het xy-vlak, en je wilt van die massa's het zwaartepunt vinden, dan laat je gewoon eerst een kracht in de y-richting werken. Voor al de r-waarden van de momenten moet je dan de x-coördinaten van de massa's nemen, en je vindt op die manier via de regel hierboven de x-coördinaat van het zwaartepunt.
       

       
Daarna laat je een kracht in de x-richting werken, en dan moet je voor alle r-waarden in de momenten de y-coördinaten van de massa's nemen, en je vindt op die manier de y-coördinaat van het zwaartepunt:
       

       
samengevat:
m1 • x1 + m2 • x2 + m3 • x3 + ....  =  xz • (m1 + m2 + m3 + ...) = xz • M
m1 • y1 + m2 • y2 + m3 • y3 + ....   =  yz • (m1 + m2 + m3 + ...) = yz • M

Maar wacht!
Dat kunnen we natuurlijk in  één keer noteren door de bovenste regel als de x-kentallen van een vector te zien en de onderste regel als de y-kentallen. Dat geeft de zogenaamde momenten stelling:
       

       
Daarin zijn die v's de plaatsvectoren van de massa's, en is z de plaatsvector van het zwaartepunt.
       
 
 
   OPGAVEN
       
1. Een massa van 20 bevindt zich in de oorsprong, een massa van 42 bevindt zich in punt (6, 4) en een massa van 15 bevindt zich in punt  (1, 10).
Bereken de coördinaten van het zwaartepunt.
       
2. Een massa van 25 bevindt zich in  (2, 6)  en een massa van 10 bevindt zich in  (9, 4)
       
  Een derde massa bevindt zich op de x-as.
Hoe groot is die derde massa en waar op de x-as  bevindt die zich als het zwaartepunt van de drie massa's het punt  (, 6) is?
       
3. Bereken van de volgende figuur de coördinaten van het zwaartepunt in drie decimalen nauwkeurig (als de dichtheid overal even groot is).
Kies de oorsprong linksonder.
       
 

       
4. Er liggen twee kartonnen cirkels boven op elkaar. De gele cirkel heeft straal 6 en ligt onderop, de blauwe heeft straal 3. De blauwe cirkel gaat door het middelpunt van de gele. Ze onderstaande figuur
       
 

       
  Bereken de plaats van het zwaartepunt als het blauwe karton zes keer keer zo zwaar is als het gele karton.
       
5. De heerlijke cake hiernaast bestaat uit drie verdiepingen in de vorm van een cilinder.

De straal van het grondvlak is achtereenvolgens  20 cm, 18 cm en 16 cm.
De hoogte van elke verdieping is 10 cm
De cilinders zijn mooi symmetrisch op elkaar gestapeld met de middelpunten recht boven elkaar.

Bereken de hoogte van het zwaartepunt van de cake als je ervan uit gaat dat er geen versieringen op zitten en dat het materiaal overal even zwaar is.
       
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)