© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Berekeningen met een onbekende.
De hoofdregel voor berekeningen aan klokvormen was de volgende:

Wat was het leven simpel: je haalde uit het verhaaltje de waarden van L, R, μ en σ en plugde die in de formule, en voilá daar rolde de oppervlakte Φ er al uit. Alleen even opletten: als de oppervlakte oneindig naar links of rechts liep moest je voor L of R een oneindig groot getal nemen. Dat was alles.

Maar het zou natuurlijk ook andersom kunnen: dat je de oppervlakte Φ al weet, en dat één van de andere letters L, R, μ of σ onbekend is. |

Wat moet je in zo´n geval doen?

Nou, gewoon hetzelfde als je al gewend was: die regel met normalcdf hierboven opschrijven. Alleen is dan één van die letters L, R, μ, σ niet in  te vullen. Maar je weet Φ wél. Stel dat je bijvoorbeeld hebt ontdekt dat L = 30, R = 60, σ = 21 en Φ = 0,16. Dan geeft dat dus zó iets met een schets van de bijpassende klokvorm:
   
0,16 = normalcdf(30, 60, μ, 21)
 
Hoe vinden we μ?
Nou, vergelijkingen mochten we (als er niet staat "algebraïsch") altijd ook oplossen met de GR via de knop CALC- INTERSECT.
En dat geldt ook hiervoor!

Hier staat ook gewoon een vergelijking.
m is de X.

Voer in Y1 = normalcdf(30, 60, X, 21) en Y2 = 0,16.
 
Voor het goede WINDOW moeten we inschatten hoe groot X en Y ongeveer zijn.
Y is geen probleem: die is ongeveer 0,16 dus  nemen we Ymin = 0 en Ymax = 0,5 dan hebben we die alvast in beeld.
X is wat lastiger: het is het gemiddelde in de klokvorm hierboven. We schatten ongeveer X =  90 dus nemen we voor de zekerheid  Xmin = 60 en Xmax = 200 dan hebben we ook die wel zeker in beeld.
Dat geeft samen de grafiek hiernaast en INTERSECT levert  de grafiek hiernaast.
Daaruit zien we dat μ ≈ 80,17.

En het gaat precies zo als L, R of σ onbekend is.
   
 
 
  OPGAVEN
1. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2013.
 

In de oceanen leven tot een diepte van zo’n 100 meter lantaarnvisjes. Ze worden zo genoemd vanwege hun lichtuitstraling waarmee ze elkaar op grote diepte in het donker kunnen herkennen.

Bij een bepaalde soort lantaarnvisjes is de lengte van volwassen exemplaren bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 5,50 cm en een standaardafwijking van 0,45 cm.
         
  a. Bereken hoe lang een volwassen lantaarnvisje dat bij de 10% langste volwassen lantaarnvisjes van deze soort hoort, minimaal is.
           
  b. Bereken hoeveel procent van de volwassen lantaarnvisjes van deze soort een lengte heeft die minder dan 20% afwijkt van de gemiddelde lengte.
           
2. De gemiddelde temperatuur in januari in Sydney (Australie)  is normaal verdeeld met een gemiddelde van 27°C en een standaardafwijking van 4,2 °C.
           
  a. Hoe groot is dan de kans op een gemiddelde temperatuur van meer dan 30°C in januari in Sydney?
     
  b. Hoe groot is de kans dat de gemiddelde temperatuur méér dan 6°C  van het gemiddelde afwijkt?
           
  c. In mei is de gemiddelde temperatuur gelijk aan 20°C , en de kans op een gemiddelde temperatuur hoger dan  22°C  blijkt gelijk te zijn aan 26%. Hoe groot is de standaarddeviatie van de gemiddelde temperatuur in mei?
           
3. Nederlandse zilveren guldens of rijksdaalders van 1994 of eerder bevatten 72% zilver per munt.
Tenminste, dat is de bedoeling.
Maar ja, als de metaallegering die gebruikt wordt in totaal 72% zilver bevat dan is dat het gemiddelde percentage zilver van alle munten die ermee gemaakt worden. Dat wil niet zeggen dat elke munt precies 72% zilver bevat.
Het zilvergehalte van de munten kan iets fluctueren, en blijkt in dat geval normaal verdeeld te zijn met een gemiddelde van 72% en een standaardafwijking van 0,2%
           
  a. Hoeveel procent van de munten zal in dat geval minder dan 72% bevatten?
     
  b. Welk percentage zilver zou de fabrikant moeten gebruiken als slechts 5% van de munten minder dan 72% zilver mag bevatten?  Neem aan dat de standaardafwijking steeds 0,2% blijft.
           
4. Ter gelegenheid van zijn verjaardag laat een wiskundeleraar elk jaar al zijn leerlingen een schatting maken van het aantal knikkers dat er in een grote glazen pot zitten.

Degenen die er hoogstens 20 knikkers van af zitten krijgen een gebakje.

     
  a. Op een verjaardag zitten er in werkelijkheid 1550 knikkers in de pot.
Er mogen die dag 150 leerlingen een gokje wagen en zij gokken een normale verdeling met een gemiddelde van 1300 knikkers met een standaardafwijking van 120 knikkers
Bereken hoeveel leerlingen die dag een gebakje krijgen.
           
  b. Op een andere verjaardag zijn de gokken van de leerlingen normaal verdeeld met een gemiddelde van 1420 knikkers en een standaardafwijking van  185 knikkers.
Het blijkt dat 4% van de leerlingen een gebakje krijgt.
Hoeveel knikkers zaten er die dag  in de pot?
           
5. Bij de meeste bouwmarkten kun je planken die je koopt ook ter plekke op maat laten zagen.
Dat zagen moet natuurlijk wel nauwkeurig gebeuren. In het algemeen vindt men een afwijking van maximaal 1 millimeter van de opgegeven streefwaarde nog acceptabel.
Omdat planken beter iets te lang dan iets te kort kunnen zijn (immers dan kunnen ze eventueel  nog iets bijgeschaafd worden) stelt men de zaagmachine iets hoger in dan de gevraagde lengte.
Bij planken die 2 meter lang moeten zijn stelt men de zaagmachine bijvoorbeeld in op 200,1 centimeter.
De zaagmachine heeft bij deze lengte een standaardafwijking van 0,8 millimeter
           
  a. Bereken het percentage planken dat meer dan 1 mm afwijkt van de opgegeven 2 meter.
           
  Als men wil dat hoogstens 1% van de planken korter is dan 2 meter dan moet men de standaardafwijking veranderen.
           
  b. Bereken hoe groot de standaarddeviatie moet worden.
           
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)