© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Berekeningen aan de normale verdeling.
Zo. Nu wordt het de hoogste tijd om eens wat serieuze berekeningen aan klokvormen te gaan verrichten. Kijk, dat gedoe met die vuistregels is wel aardig natuurlijk om een beetje een idee van de normale verdeling te krijgen, maar je hebt er verder niet echt veel aan. In praktijk komt het natuurlijk niet vaak voor dat je precies 1 of 2 standaardafwijkingen van het gemiddelde af bent. Dat zou wel héél toevallig zijn, toch?
Gelukkig heeft onze TI-83 een knop om tussen twee willekeurige x-waarden uit te rekenen wat de oppervlakte onder de normale verdeling is. Het volgende plaatje vat goed samen hoe het werkt:

•  De functie normalcdf vind je bij  2nd - Distr.
•  L is de linkergrens (kleinste x) en  R is de rechtergrens (grootste x).
•  Tussen de letters in staat steeds zo'n dikke komma.
•  De oppervlakte is een getal tussen 0 en 1 en wordt aangegeven met de letter Φ.
   
Voorbeeld.
de diameter van de boomstammen van eikenbomen in een bos is normaal verdeeld met een gemiddelde van 27 cm en een standaarddeviatie van 6 cm. Hoeveel procent van de bomen zal een stamdiameter tussen de 20 en 25 cm hebben?

normalcdf(20, 25, 27, 6) = 0,2477 dus dat is 24,77%
 
Twee Speciale gevallen.
De twee speciale gevallen kun je hieronder zien in een klokvorm:

In deze gevallen loopt het gevraagde gebied helemaal door naar één kant, en is er maar één echte grens af te lezen. Wat moet je in zo'n geval doen? Ach, waarschijnlijk had je het zelf al wel geraden:  Je kiest die onbekende grens gewoon ver genoeg weg. Doe maar gewoon een belachelijk groot (positief of negatief) getal, zodat je zeker weet dat wat er dan nog buiten die grens valt zeker te verwaarlozen is.
 
Voorbeeld.

IQ-scores zijn normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 en een standaarddeviatie van 10. Mensen die een IQ-score van 130 of hoger scoren noemt men hoogbegaafd. Bereken hoeveel procent van de bevolking hoogbegaafd zal zijn.

De ondergrens  L is gelijk aan 130, en de bovengrens kiezen we "hoog genoeg", bijvoorbeeld R = 100000. Zo'n belachelijk hoog IQ komt natuurlijk niet voor, maar dan weten we tenminste zeker dat we de oppervlakte naar rechts toe helemaal bestrijken. Dat geeft oppervlakte  normalcdf(130, 100000, 100, 10) = 0,00134 dus dat is  0,134%.
 
DISCREET en CONTINU
   
Bedenk goed, dat de normale verdeling een continue verdeling is. Dat betekent dat alle meetwaarden kunnen voorkomen.  De berekeningen gaan met een vloeiende klokvorm, en niet met de horten en stoten van een histogram. Dat betekent bijvoorbeeld dat de normale verdeling geen verschil kent tussen "KLEINER" en "KLEINER-OF-GELIJK".
Kijk maar:

   
P(X < 80) is de gele oppervlakte in de linkerfiguur.
P(X ≤ 80) is de gele oppervlakte PLUS DE BLAUWE LIJN in de rechterfiguur.
Maar die blauwe lijn is oneindig dun, dus die heeft oppervlakte NUL. Beide figuren geven daarom dezelfde oppervlakte, en dus dezelfde kans.
HEERLIJK! Je hoeft lekker nergens op te letten.
   
 
 
OPGAVEN
     
1. Ik heb de laatste tijd heel hard getraind, en de tijd die ik hardloop over 10 kilometer is nu normaal verdeeld met een gemiddelde van 45 minuten en een standaardafwijking van 2 minuten.
Hoe groot is de kans dat mijn volgende 10 kilometer meer dan 43 minuten maar minder dan 44 minuten gaat duren? 
     
2. De lengte van maïsplanten op een akker is op een bepaald moment normaal verdeeld met een gemiddelde van 170 cm en een standaardafwijking van  22 cm.

Hoe groot is de kans dat  een willekeurige maïsplant van deze akker dan tussen de 150 en 160 óf tussen de 175 en 180 cm lang is?
     
3. Bij de winkel  BLOKKER verkopen ze twee soorten tuinfakkels. Soort A en soort B.
Ze hebben de brandtijd daarvan getest.
Het bleek dat de brandtijd van soort A normaal verdeeld was met een gemiddelde van 45 uur en een standaardafwijking van 8 uur. Voor soort B gold een gemiddelde brandtijd van  42 uur met een standaardafwijking van 12 uur.
Ik wil graag tuinfakkels die 2 dagen lang non-stop branden. Dus hun brandtijd moet minstens 48 uur zijn.
Welke soort kan ik het beste kopen?
     
4. Een groep vrienden doet elke maand in de kroeg mee met een pubquizz.
In maart was de gemiddelde score van alle teams normaal verdeeld met een gemiddelde van  70,6 punten en een standaardafwijking van 6,5 punten.
In april was de gemiddelde score van alle teams normaal verdeeld met een gemiddelde van  62,2 punten en een standaardafwijking van 8,2 punten.

Je mag in deze opgave doen alsof elk aantal punten mogelijk is, dus niet alleen gehele aantallen.
       
  a. Hoeveel procent van de deelnemende teams zal in maart meer dan 74 punten hebben gescoord?
       
  b. De vriendengroep scoorde in maart  72 punten en in april  68 punten.
Alhoewel dat in april een lagere score was vinden zij toch dat zij in april beter gescoord hebben dan in maart. Ben je dat met hen eens?
       
  c. Van de teams die aan beide quizzen meededen heeft  8%  beide keren 65 of lager gescoord.
Laat met een berekening zien dat dat hoger is dan je aan de hand van de gegevens zou verwachten en probeer daar een verklaring voor te geven.
       
5. Op een grote kippenboerderij verzamelt men 's morgens alle gelegde eieren om die te gaan verkopen. De eieren worden ingedeeld en gesorteerd in vier klassen, met elk een verschillende opbrengst per ei:
     
 
klasse S M L XL
gewicht (gram) < 53 53 -< 63 63 -< 73 > 73
opbrengst (euro) 0,05 0,07 0,08 0,10
     
  Het gewicht van de eieren van de kippen op deze boerderij is normaal verdeeld met een gemiddelde van 66 gram en een standaardafwijking van 10 gram.

Hoeveel zal een partij van  5000 eieren naar verwachting opbrengen?
     
 
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)