Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Het zakgeld dat brugklassers per week krijgen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 5 euro en een standaarddeviatie van 0,80 euro.
Als ik een groep van 2000 brugklassers zou vragen naar hun zakgeld, hoeveel van hen zouden dan waarschijnlijk zeggen dat ze tussen de 3 en 4 euro zakgeld per week krijgen?

De hoeveelheid regen die er in Februari in ons land valt is normaal verdeeld met een gemiddelde van 46 mm en een standaarddeviatie van 8 mm.
Hoe groot is de kans dat er in Februari dan tussen de 36 en 40 mm óf tussen de 46 en 50 mm regen valt?

Pakken suiker worden in de fabriek door een vulmachine gevuld. Zo'n machine is natuurlijk niet oneindig nauwkeurig, en de inhoud van de pakken varieert een beetje.
De inhoud van de gevulde pakken is normaal verdeeld.
Hiernaast zie je twee merken suiker (van Gilse en CSM) met daarboven het gemiddelde vulgewicht en de standaarddeviatie daarvan.

Welk merk suiker zou je kopen als je graag minstens 1015 gram suiker wilt hebben?

Zo eind oktober hebben de brugklassen van een middelbare school al twee wiskundeproefwerken gehad. Op beide proefwerken waren de cijfers bij benadering normaal verdeeld. Op het eerste proefwerk was het gemiddelde 7,23 met een standaarddeviatie van 1,42 en op het tweede proefwerk was het gemiddelde 6,54 en de standaarddeviatie 1,56

Je mag in deze opgave doen alsof elk proefwerkcijfer mogelijk is, dus niet verplicht één cijfer achter de komma.

Hoeveel procent van de kinderen zal op het eerste proefwerk een onvoldoende hebben gescoord?

Lidwien is goed in wiskunde. Ze had op het eerste proefwerk een 8,9 en op het tweede een 8,5. Alhoewel dat tweede cijfer iets lager is dan het eerste vindt zij toch dat ze op het tweede proefwerk beter heeft gescoord. Ben je dat met haar eens?

Het aantal kinderen dat op beide proefwerken hoger dan een 7 heeft gescoord is 28%. Laat met een berekening zien dat dat hoger is dan je aan de hand van de gegevens zou verwachten en probeer daar een verklaring voor te geven.

Een fruitteler heeft een grote boomgaard met appelbomen. Hij weet dat het gewicht van de appels die aan zijn bomen groeien uiteindelijk normaal verdeeld zal zijn met een gemiddelde van 120 gram en een standaarddeviatie van 13 gram.
Op de veiling worden de appels verkocht in drie gewichtsklassen: klasse C heeft gewicht tot 110 gram, klasse B heeft gewicht tussen 110 gram en 125 gram, en klasse A heeft gewicht meer dan 125 gram.
Voor klasse-C appels krijgt hij 0,05 euro per appel, voor klasse B is dat 0,08 per appel en voor klasse A krijgt hij 0,12 euro per appel.
Hoeveel euro opbrengst kan de fruitteler verwachten als hij 20000 appels zal oogsten?

MEER OPGAVEN

Een hovenier bij gemeentewerken plant op een gegeven moment 2000 nieuwe plantjes in de stad.
Hij weet dat de levensduur daarvan normaal verdeeld is met een gemiddelde van 80 dagen en een standaarddeviatie van 20 dagen.
Na 50 dagen gaat hij alle planten controleren en vervangt degenen die dood zijn gegaan door nieuwe plantjes (ook weer met gemiddelde levensduur 80 en standaarddeviatie 20).

Na 120 dagen (vanaf het begin gerekend) doet hij dat weer.
Hoeveel planten zal hij naar verwachting de tweede keer moeten vervangen?

Volgens één van de vuistregels ligt 68% van de waarnemingen binnen één standaardafwijking van het gemiddelde. Zoek uit hoe groot dat percentage in vier decimalen nauwkeurig is.

De hoeveelheid neerslag in de Sahara is normaal verdeeld met een gemiddelde van 85 mm per jaar en een standaarddeviatie van 12 mm.

Hoeveel keer zal er in de komende eeuw in een jaar minder dan 75 mm neerslag vallen?

Men noemt een Saharajaar extreem nat als er meer dan 110 mm valt. Hoe groot is de kans op zo'n extreem nat jaar?

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1996.

Omdat guldens en rijksdaalders van hetzelfde materiaal zijn gemaakt en maar weinig in diameter verschillen, kunnen ze makkelijk met elkaar worden verward. Zie de volgende figuur. In het volgende experiment speelt deze verwarring een rol.

Proefpersonen krijgen op een beeldscherm een schijfje van 25 mm (de diameter van een gulden) of een schijfje van 29 mm (de diameter van een rijksdaalder) te zien. Na een aantal seconden verdwijnt het schijfje en moeten de proefpersonen zelf proberen op dat beeldscherm een even groot schijfje te maken

De proefpersonen zullen niet altijd een schijfje maken dat even groot is als het schijfje dat op het beeldscherm getoond werd. Vaak is het gemaakte schijfje of kleiner of groter dan het getoonde schijfje. Als schijfje g wordt getoond, zijn de diameters van de gemaakte schijfjes vrijwel normaal verdeeld. Dat is ook het geval als schijfje r wordt getoond.
In de volgende figuur zien we de normale verdeling die hoort bij schijfje g. Als schijfje g getoond wordt, dan is de gemiddelde diameter van de gemaakte schijfjes 25 mm. De bijbehorende standaardafwijking is 1,3 mm.

Bereken hoeveel procent van de gemaakte schijfjes een diameter heeft die minder dan 1 mm van het gemiddelde afwijkt.

55,8%

In de figuur hieronder is de normale verdeling afgebeeld die hoort bij schijfje r. De gemiddelde diameter van de gemaakte schijfjes is in dit geval 29 mm en de standaardafwijking is 1,8 mm

Als de normale verdelingen uit de vorige twee figuren in één nieuwe figuur worden getekend, overlappen ze elkaar gedeeltelijk. Deze overlap is gearceerd aangegeven in de volgende figuur.

Zoals je ziet ligt het snijpunt van de twee krommen bij 26,9 mm. De oppervlakte van de overlap noemen we de verwarringskans.

Bereken de verwarringskans.

10.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 1996.

Het Nederlandse meetinstituut te Delft controleert of de lotto een eerlijk gokspel is. Men vraagt zich daarbij af of ieder lottoballetje eenzelfde kans heeft om getrokken te worden. Hiervoor wordt de trekkingsmachine getest. Bij die test worden slechts vijf balletjes gebruikt en laat men de machine 5000 keer één balletje uit deze vijf balletjes trekken. Na iedere trekking wordt het getrokken balletje weer teruggelegd. na afloop van de 5000 trekkingen wordt geteld hoe vaak ieder van de vijf balletjes getrokken is. Deze aantallen heten de uitkomsten.
Bij een goede trekkingsmachine zal elk balletje naar verwachting 1000 keer getrokken worden. Natuurlijk zal dat meestal niet precies gebeuren. Een balletje kan bijvoorbeeld 980 keer of 1023 keer getrokken worden. Er zal sprake zijn van een zekere spreiding. In dergelijke situaties is de uitkomst van ieder balletje bij een goede trekkingsmachine vrijwel normaal verdeeld.
Neem daarom bij vraag a en b aan dat bij een goede trekkingsmachine de uitkomst van ieder balletje normaal verdeeld is met een gemiddelde van 1000 en een standaardafwijking van 28,3.

Bereken de kans dat bij het testen van een goede trekkingsmachine een bepaald balletje 950 keer of minder getrokken wordt.

0,0386

Bereken de kans dat bij een goede trekkingsmachine de uitkomst van een bepaald balletje verder dan 3 keer de standaardafwijking van 1000 afligt.

0,0026

Volgens de Wet op de Kansspelen is een uitkomst die niet verder dan drie keer de standaardafwijking (hier dus 28,3) van 1000 afligt, aanvaardbaar. Ligt minstens één van de uitkomsten verder dan drie keer de standaardafwijking van 1000 af, dan zal de trekkingsmachine volgens deze Wet afgekeurd worden.

Veronderstel dat de test van een trekkingsmachine de uitkomsten heeft opgeleverd die in onderstaande figuur staan. Voor het gemak zijn de 5 balletjes van de namen A, B, C, D en E voorzien. Bij iedere staaf staat de uitkomst van het bijbehorende balletje vermeld.

Moet de trekkingsmachine volgens de Wet op de Kansspelen afgekeurd worden? Licht je antwoord toe.

11.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1999

Tot 1 juli 1997 werd voor eieren de gewichtsklassenindeling 0 t/m 7 gebruikt. Op elk ei werd met een stempel een cijfer gezet dat aangaf tot welke gewichtsklasse het behoorde.

De gewichtsklasse 0 duidt op eieren van 75 g en meer.
De gewichtsklasse 1 duidt op eieren van 70 tot 75 g.
De gewichtsklasse 2 duidt op eieren van 65 tot 70 g.
De gewichtsklasse 3 duidt op eieren van 60 tot 65 g.
De gewichtsklasse 4 duidt op eieren van 55 tot 60 g.
De gewichtsklasse 5 duidt op eieren van 50 tot 55 g.
De gewichtsklasse 6 duidt op eieren van 45 tot 50 g.
De gewichtsklasse 7 duidt op eieren van minder dan 45 g.

Neem aan dat het gewicht van eieren normaal verdeeld is met een gemiddeld gewicht van 60g en een standaardafwijking van 6,7 g.

Hoeveel procent van de eieren zit in klasse 7? Licht je antwoord toe.

Op 1 juli 1997 werd een nieuwe indeling in gewichtsklassen voor eieren ingevoerd.
De nieuwe gewichtklassen worden aangeduid met XL, L, M en S.

klasse	aanduiding	gewicht
XL L M S	zeer groot groot middelgroot klein	73 g en meer van 63 tot 73 g van 53 tot 63 g minder dan 53 g

In juli 1997 werden bij het pakstation in Ede 40 miljoen eieren aangevoerd. Gezien het grote aantal mag je ook hier veronderstellen dat het gewicht van deze eieren normaal verdeeld was met een gemiddeld gewicht van 60 g en een standaardafwijking van 6,7 g. Een aantal van deze 40 miljoen eieren werd nu in klassen XL ingedeeld, terwijl deze eieren vroeger in gewichtsklasse 1 zouden hebben gezeten.

Laat zien dat dit ongeveer 0,54 miljoen eieren waren.

Niet alle eieren uit de gewichtsklasse XL komen in de winkels terecht. Eieren van 75 g en meer (de oude gewichtsklasse 0) worden gebruikt voor de horeca en de industrie.

Hoeveel procent van de eieren die in juli 1997 in Ede in de gewichtsklasse XL werden ingedeeld, was bestemd voor winkels? Licht je antwoord toe.

12.

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1996.

Uit de gegevens van een groot aantal woningen bleek:

•

in 30% van de woningen werd voor warm water gebruik gemaakt van elektriciteit; het elektriciteitsverbruik binnen deze groep woningen was bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 4500 kWh en een standaarddeviatie van 1000 kWh.

•

in 70% van de woningen werd voor warm water gebruik gemaakt van gas; het elektriciteitsverbruik binnen deze groep was bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 2500 kWh en een standaarddeviatie van 750 kWh.

Bereken bij hoeveel procent van de woningen het elektriciteitsverbruik minder was dan 2500 kWh.

13.

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2008.

Jongens van eenzelfde leeftijd zijn natuurlijk niet allemaal even lang. Per leeftijd is er steeds een zekere verdeling van de verschillende lengtes. Voor elke leeftijd is de lengte van Nederlandse jongens normaal verdeeld. Ook de lengte van Nederlandse meisjes is voor elke leeftijd normaal verdeeld. In 1997 was de lengte van 17-jarige jongens gemiddeld 181 cm met een standaardafwijking van 8 cm. In 1997 was de lengte van 17-jarige meisjes gemiddeld 169 cm met een standaardafwijking van 7 cm.

In 1997 beweerde iemand over 17-jarigen dat het percentage van de jongens die langer zijn dan 185 cm ongeveer 30 keer zo groot is als het percentage van de meisjes die langer zijn dan 185 cm.

Onderzoek met een berekening of deze bewering juist is.

Volgens de nieuwe Europese norm voor schoolmeubilair is niet de lichaamslengte maar de knieholtehoogte bepalend voor de optimale afmetingen van schooltafels. In de volgende tabel staan vier typen tafels. Elk type wordt aangeduid met een kleur. In de tabel is te zien voor welke knieholtehoogten elk type geschikt is.

type	knieholtehoogte (mm) (zonder schoenen)	hoogte tafel (cm)
rood	355-405	64
groen	405-435	71
blauw	435-485	76
bruin	>485	82

Voor jongens van 17-18 jaar is de knieholtehoogte normaal verdeeld met een gemiddelde van 489 mm en een standaardafwijking van 27 mm. Voor meisjes van 17-18 jaar is de knieholtehoogte normaal verdeeld met een gemiddelde van 449 mm en een standaardafwijking van 26 mm.

Een school wil voor 120 leerlingen van 17-18 jaar nieuwe schooltafels aanschaffen met de juiste afmetingen volgens de tabel hierboven. Ga ervan uit dat er evenveel jongens als meisjes zijn.

Bereken hoeveel exemplaren van het type groen de school zou moeten aanschaffen.

14.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2005.

Het gewicht van volwassen Nederlanders is bij benadering normaal verdeeld met gemiddelde 76 kg en standaardafwijking 10 kg. In deze opgave werken we met deze normale verdeling.

Bij een onderzoek worden 1200 personen gewogen.

Bereken de verwachtingswaarde van het aantalproefpersonen met een gewicht tussen 66 en 86 kg.

Bereken de kans dat van twee willekeurig gekozen personen er één zwaarder is dan 82 kg en één lichter dan 82 kg.

15.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2008.

Een gepensioneerde man bezoekt elke dag zijn hoogbejaarde moeder in een verzorgingstehuis. Daarvoor maakt hij dagelijks een wandeling van 2,1 km. De looptijd T van zijn wandeling is bij benadering normaal verdeeld met verwachtingswaarde 28 minuten en standaardafwijking 2,5 minuten.

Voor de gemiddelde loopsnelheid v tijdens de wandeling geldt:

Hierbij is T in minuten en v in km/uur.

De man maakt de wandeling 7 keer per week.

Bereken op hoeveel dagen per week naar verwachting zijn gemiddelde loopsnelheid groter is dan 5,0 km/uur.

We bekijken het volgende vermoeden:
v is normaal verdeeld met verwachtingswaarde ¹²⁶/₂₈ = 4,5 km/uur.

Als een toevalsvariabele X normaal verdeeld is met verwachtingswaarde μ, geldt voor elke waarde
van a: P(X < μ − a) = P(X > μ + a). Zie de figuur hiernaast.

Als we een waarde van a kunnen vinden waarvoor P(v < 4,5 − a) niet gelijk is aan P(v > 4,5 + a) , dan geldt dat v niet normaal verdeeld is met verwachtingswaarde 4,5.

Toon met een berekening aan dat het vermoeden dat v normaal verdeeld is met verwachtingswaarde 4,5 km/uur niet juist is.

16.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2009.

In een land leven twee stammen, de Langen en de Korten. Van beide stammen is de lichaamslengte van een volwassen man normaal verdeeld: van de Langen met gemiddelde 185 cm, van de Korten met gemiddelde 160 cm. Beide verdelingen hebben standaardafwijking 6 cm. In het land behoort 20% van de volwassen mannen tot de Langen en 80% tot de Korten.

Als er bij de Korten evenveel volwassen mannen zouden zijn als bij de Langen, dan zou de gemiddelde lichaamslengte van alle volwassen mannen 172,5 cm zijn. In dit geval is dat niet zo: de gemiddelde lengte van alle volwassen mannen is 165 cm.

Toon dit aan

Er geldt dat de lichaamslengte van meer dan 60% van de volwassen mannen in het land kleiner is dan de gemiddelde lengte van alle volwassen mannen.

Toon dit aan.

Is de lichaamslengte van de totale groep van de volwassen mannen in het bewuste land normaal verdeeld? Licht je antwoord toe.

17.

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2012.

In januari 2008 verscheen er in de NRC een artikel over de becijfering van een tentamen Recht. In de figuur hiernaast zie je de verdeling van de cijfers voor dat tentamen.

Uit de gegevens in deze figuur volgt dat het gemiddelde van de tentamencijfers 5,4 was en de standaardafwijking 1,9.

Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.

De schrijvers van het artikel waren erg kritisch. Zij waren van mening dat er opvallend weinig cijfers 5 waren uitgedeeld en beargumenteerden dit op de volgende manier.

Bij dergelijke toetsen verwacht men meestal dat de cijfers bij benadering normaal verdeeld zijn.
Hier was dit echter duidelijk niet het geval.
Wanneer de tentamencijfers wèl normaal verdeeld zouden zijn met gemiddelde 5,4 en standaardafwijking 1,9, dan zouden veel meer dan 48 studenten het cijfer 5 gekregen hebben.

Bereken met behulp van die normale verdeling hoeveel studenten in dat geval het cijfer 5 gekregen zouden hebben.

18.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 1997.

Bij archeologische opgravingen vindt men vaak veel gebruiksvoorwerpen zoals bijlen. Deze werden vroeger met de hand gemaakt. Daardoor zijn de afmetingen niet steeds precies hetzelfde. Als de bijlen bij een bepaalde opgraving alle uit een en dezelfde smederij afkomstig zijn, dan zouden we kunnen aannemen dat de breedte (zie onderstaande figuur) van de bijlen bij benadering normaal verdeeld is.

Vreemd genoeg vindt men bij dit soort onderzoek in plaats van het verwachte symmetrische histogram vaak een scheef histogram, zoals bijvoorbeeld hiernaast.

Bij een symmetrisch histogram is het gemiddelde gelijk aan de mediaan. Bij een scheef histogram is dit in het algemeen niet het geval.
Bij het histogram hiernaast is de mediaan 4,5.

Is de gemiddelde breedte van deze bijlen groter of kleiner dan de mediaan? Licht je antwoord toe.

Het ene histogram noemen we schever dan het andere. Een maat voor de scheefheid is:

Hierbij is md de mediaan, Q₁ het eerste kwartiel en Q₃ het derde kwartiel.

We kijken naar het histogram hierboven.

Laat met een berekening met deze formule zien dat S positief is. Geef daarbij duidelijk aan hoe je Q₁ en Q₃ (door berekening of aflezing) gevonden hebt.

Aan het begin van de opgave werd gezegd dat, als we aannemen dat alle bijlen uit dezelfde smederij afkomstig zijn, we een normale verdeling mogen verwachten. Door een ongelukkige keuze voor een klasse-indeling is het echter mogelijk dat het bijbehorende histogram niet symmetrisch zal zijn.
Laten we aannemen dat bij een bepaalde soort bijlen de breedte normaal verdeeld is met gemiddelde 3,9 cm en standaardafwijking 0,35 cm. En stel dat voor de volgende klasse-indeling is gekozen:
klasse A: breedte kleiner dan 3,4 cm.
klasse B: breedte vanaf 3,4 tot 3,8 cm.
klasse C: breedte vanaf 3,8 tot 4,2 cm.
klasse D: breedte 4,2 cm en groter.

Laat door berekeningen zien dat het percentage bijlen in klasse A nu niet gelijk is aan het percentage in klasse D.

Naast de 'ongelukkige' keuze voor een klasse-indeling is er nog een andere verklaring voor de scheefheid van het histogram. Het is natuurlijk mogelijk dat de bijlen niet uit één smederij afkomstig zijn, maar uit twee verschillende. Neem aan dat bij elk van deze twee smederijen het histogram symmetrisch is, maar dat de gemiddelden en de standaardafwijkingen verschillend zijn. Hieronder zie je het histogram bij één van deze smederijen getekend.

Teken in deze figuur een symmetrisch histogram bij de andere smederij en laat zien dat het histogram van de twee smederijen samen een scheef histogram is.


© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)