Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Omvormen van machten en logaritmen

De vorige les hebben we gezien hoe je exponentiële en logaritmische functies in elkaar om kunt zetten.
Deze les gaan we hetzelfde doen met machtsfuncties.

Daarbij heb je wel de rekenregels voor logaritmen nodig en machten.
Dit zijn de belangrijksten:

N = a × t^b omschrijven naar logaritmen.

Voorbeeld: Schrijf N = 5 × t^0,4 in de vorm log(N) = a + b × t

Oplossing:
N = 5 × t^0,4 neem van beide kanten log:
log(N) = log(5 × t^0,4)
log(N) = log(5) + log(t^0,4)
log(N) = 0,7 + 0,4 × log(t)

log(N) = a + b × log(t) omschrijven naar machten.

Nou, dat gaat precies zoals hierboven maar dan in de omgekeerde volgorde:

Voorbeeld: Schrijf    log(N) = 2,8 + 1,2log(t) in de vorm   N = a × t^b

Oplossing:
log(N) = 2,8 + 1,2log(t)   Doe beide kanten 10-tot-de-macht:
10^log(N) = 10^{2,8 + 1,2log(t)}N = 10^2,8 × 10^1,2log(t)
N = 631 × (10^log(t))^1,2
N = 631 × t^1,2

Het kan trouwens ook door beide kanten eerst te veranderen in log:

Voorbeeld nog een keer: Schrijf log(N) = 2,8 + 1,2log(t) in de vorm N = a × t^b

Oplossing:
log(N) = 2,8 + 1,2log(t)
log(N) = log(10^2,8) + log(t^1,2)
log(N) = log(631 × t^1,2)
en nou kan de log weg:
N = 631 × t^1,2

Dubbellogaritmisch papier.

Je ziet hier dat een lineaire formule met log(N) en log(t) verandert in een machtsformule voor N en t
Dat betekent dat je, als je van een machtfunctie N = a t^b op de x-as en de y-as logaritmische schaal gebruikt, dat je dan een rechte lijn krijgt!! Immers dan staat er eigenlijk log(N) en log(t) op die assen.
Papier met op de x-as en op de y-as beiden een logaritmische schaalverdeling heeft heel toepasselijk dubbellogaritmisch papier.
Hier zie je een velletje

Een machtsfunctie wordt een rechte lijn op dubbellogaritmisch papier

Dat werkt zo....

In de volgende tabel zie je van een aantal "beroemde" explosies en twee "algemene" explosies de kracht (in ton TNT) en de afstand tot waar de explosie hoorbaar was (in km).

explosië:	Krakatau 1883	Tsar Bomba 1961	St. Helena 1980	Hiroshima 1945	terroristische aanslag	bliksem
kracht (k)	2 • 10⁸	5 • 10⁷	225 • 10⁴	15 • 10³	500	0,2
afstand (A):	4800	3200	1200	300	100	10

Een formule die daarbij hoort is: k = 0,00004 • A^3,7
Op dubbellogaritmisch papier moet je dus de log(k) en de log(A) op de coördinaatassen uitzetten:

explosië:	Krakatau 1883	Tsar Bomba 1961	St. Helena 1980	Hiroshima 1945	terroristische aanslag	bliksem
kracht (k)	2 • 10⁸	5 • 10⁷	225 • 10⁴	15 • 10³	500	0,2
log(k)	8,3	7,7	6,4	4,2	2,7	-0,7
afstand (A):	4800	3200	1200	300	100	10
log(A)	3,7	3,5	3,1	2,5	2,0	1,0

Dat geeft de volgende grafiek:

Je kunt de gegeven formule als volgt omwerken:
k = 0,00004 • A^3,7
log(k) = log(0,00004 × A^3,7)
log(k) = log(0,00004) + log(A^3,7)
log(k) = -4,40 + 3,7 log(A)
Daar staat dus op dubbellogaritmisch papier eigenlijk y = -4,4 + 3,7 × x

OPGAVEN

Schrijf de formule N = 2,38 × t^0,15 in de vorm
log(N) = a + b × log(t)

Schrijf de formule log(y) = 3,4 + 1,8log(x) in de vorm y = a × x^b

Schrijf de formule G = 3,2 × p^5,6 in de vorm p = a × G^b

Een formule die goed past bij de tijden van de atletiekrecords hardlopen van de mannen is:

T = 0,061 • D^1,111

Hierin is D de afstand in meters en T de tijd in seconden.

Teken de grafiek van T(D) op dubbellogaritmisch papier.
Hier heb je een velletje.

Onderzoek met dit papier bij welk afstand de gemiddelde snelheid gelijk was aan 7,8 m/s (ongeveer 28 km/uur)
Controleer je antwoord na afloop met de gegeven formule.

Schrijf de formule van T in de vorm D = a × T^b

Schrijf de formule van T in de vorm log(T) = a + b × log(D)
Leg uit hoe de constanten a en b in de grafiek van vraag a) te vinden zijn.

Een handelaar in vuurwerk bekijkt het bedrag B (in euro) dat hij totaal aan vuurwerk heeft verkocht in december afhankelijk van de tijd t (in dagen met t = 0 op 1 december). Er blijkt dat log(B) lineair afhangt van log(t) volgens de formule:

logB = 3,30 + 0,32 • log(t) voor t ≥ 1

B kan geschreven worden in de vorm B = a • t^b .

Bereken a en b.

Toon aan dat er sprake is van afnemende toename.