|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ongelijkheden. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Laten we de volgende twee lijnen nemen: y1
= 2x + 6 en y2 = 5x
- 4. Het snijpunt van beide lijnen vinden we door te stellen y1 = y2 Dat heeft als oplossing x = 31/3 (en y = 112/3). Je hebt in de vorige les geleerd hoe je die oplossing kunt vinden. Maar vandaag is de vraag: Los op: 2x + 6 > 5x - 4, ofwel: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dat is dezelfde vraag als:
"Voor welke x-waarden is de bijbehorende y1 groter dan de bijbehorende y2?" Er zijn maar liefst DRIE methoden op dat op te lossen. Hou je vast: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| methode 1: Met de grafiek. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bekijk de grafiek hiernaast. We hadden al
gevonden dat het snijpunt ligt bij x = 31/3.
En in een eerste opwelling zou je misschien zeggen dat dan nu moet
gelden x > 31/3. Maar in de grafiek hiernaast zie je dat dat niet klopt. y1 > y2 betekent: de lijn van y1 ligt in de grafiek boven die van y2. Je ziet hiernaast dat dat zo is bij het rode deel van die lijn. En daarbij horen de blauwe x-waarden!!! Conclusie: de oplossing is x < 31/3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| methode 2: Met een getallenlijn. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Deze methode is wat luier dan de vorige: in plaats van de
hele grafiek tekenen we alleen de x-as! We weten dat het
grensgeval was x = 31/3
dus dat
zetten we erop. En nu proberen we gewoon een x aan de ene kant van 31/3 en een x aan de andere kant van 31/3. Daarvoor testen we of geldt dat 2x + 6 > 5x - 4. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Als het klopt zetten we "JA" boven
de lijn en als het niet klopt :"NEE". Neem bijvoorbeeld x = 2. Dat geeft 2 • 2 + 6 > 5 • 2 - 4 ofwel 10 > 6. Dat klopt, dus daar staat JA. Neem daarna bijv. x = 4. Dat geeft 14 > 16 en dat klopt niet, dus daar staat NEE. Het antwoord op de vraag is nu gewoon het stuk van de x-as waar JA staat, dus x < 31/3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| methode 3: Algebraïsch. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Dus wederom x <
31/3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De intervalnotatie. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ≥ ipv > | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Wat verandert aan bovenstaand verhaal als er
niet > stond, maar
≥
? Nou, dat betekent dat de waarde van x waarvoor precies geldt dat 2x + 6 = 5x - 4 ook nog mag. Dat betekent in het voorbeeld dat 31/3 nu óók bij de oplossing hoort. De oplossing zou dan worden x ≤ 31/3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Er is en handiger manier om aan te geven welke x-waarden de oplossing van een vergelijking vormen, en dat is de intervalnotatie. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Die notatie heeft alles te maken
met de getallenlijn die we hierboven al zagen en die hier naast nog een
keer staat getekend. Zo'n blauw stukje van de getallenlijn kunnen we op een handige manier aangeven en daarvoor gebruiken we zes tekens: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Als het blauwe lijnstuk hierboven
zou horen bij x <
31/3
dan is dat in de intervalnotatie
ᬠ,
31/3ñ Als het blauwe lijnstuk hierboven zou horen bij x ≤ 31/3 dan is dat in de intervalnotatie ᬠ, 31/3] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dat verschil tussen die
twee soorten haakjes kun je makkelijk onthouden met het ezelsbruggetje
hiernaast. Bij zo'n "vierkant" haakjes staat dat randgetal stevig op de rand, dus dat blijft erin. Bij zo'n "geknikt" haakje glijdt dat randgetal eruit als van een groene zeep helling. Het is natuurlijk logisch dat er bij een pijltje altijd zo'n "geknikt" haakje staat want daar is geen randgetal dat er nog binnen blijft staan. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| En die intervalnotatie kun je ook
gebruiken bij allerlei andere intervallen en combinaties van
intervallen. Kijk maar naar de volgende voorbeelden, waar steeds van een deel van de getallenlijn staat aangegeven met welk interval je dat kunt beschrijven. (een dichte stip betekent dat het randgetal erbij hoort, en open stip dat het randgetal er niet bij hoort) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Het kan zelfs bij intervallen die uit
meerdere losse stukken bestaan. In dat geval zet je het tekentje ∪
ertussen. Dat betekent "samen met". Dat geeft in de volgende gevallen de volgende intervallen: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
