Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Optimaliseren met sinus en cosinus

Eén van de dingen waar we de afgeleide voor gebruikten was het opsporen van extremen van functies.
Dat deden we door te stellen:

maximum/minimum: f '(x) = 0

Van één of anders optimaliseringsprobleem moest je dan vaak eerst ergens een formule voor opstellen en daarna om het maximum/minimum daarvan op te sporen ging je oplossen f '(x) = 0
Nu we de afgeleide van sinus, cosinus en tangens ook kennen kunnen we die natuurlijk ook gaan gebruiken om extremen op te sporen.
Dart zal vooral zo zijn in problemen waarbij een hoek

Neem het volgende voorbeeld dat we in de les over optimaliseren al tegen kwamen:

Voorbeeld.

Iemand wil in zijn tuin een plekje maken om zijn konijnen in te laten lopen. Hij doet dat met twee platen BC en CD die scharnierend aan elkaar vast zitten in C. Hij zet ze rechtop in een hoek van de tuin waar schuttingen zijn. De platen zijn 1 en 2 meter lang. Een bovenaanzicht van de verschillende situaties staat hieronder.

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van ABCD.

Oplossing.

Stel AB = x
Teken de loodlijn CE van C op AD.
rechthoek ABCE heeft oppervlakte x • 1 = x
driehoek CED heeft oppervlakte 0,5 • x • ED
ED² = 2² - x² = 4 - x² dus ED = √(4 - x²)
driehoek CED heeft dan oppervlakte 0,5x√(4 - x²)

de rechthoek en de driehoek samen hebben oppervlakte O = x + 0,5x√(4 - x²)
Afgeleide nul stellen:
O' = 1 + 0,5√(4 - x²) + 0,5x• 0,5•(4 - x²)^-0,5 • -2x
1 + 0,5√(4 - x²) - 0,5x²•(4 - x²)^-0,5= 0
vermenigvuldig alles met √(4 - x²), dat geeft √(4 - x²) + 0,5(4 - x²) - 0,5x² = 0
√(4 - x²) = -0,5(4 - x²) + 0,5x²
√(4 - x²) = -2 + 0,5x² + 0,5x²√(4 - x²) = -2 + x² 4 - x²= (-2+ x²)²
4 - x² = 4 - 4x² + x⁴
0 = x⁴ - 3x²
0 = x² (x² - 3)
x² = 0 ∨ x² - 3 = 0
x = 0 ∨ x = √3 ∨ x = -√3
De gezochte oplossing is x = √3
Dat geeft O = x + 0,5x√(4 - x²) = √3 + 0,5√3•√(4 - 3) = ³/₂√3

Nou mooi, ook weer opgelost.....

Maar je kunt natuurlijk met zo goed in plaats van AB gelijk te stellen aan x, ervoor kiezen om de grootte van de hoek bij D als onbekende te nemen.
Laten we het probleem nog een keer oplossen:

Oplossing 2.

Noem ∠D = a
Dan is AB = CE = 2sina en DE = 2cosa
De oppervlakte is dan   O = ¹/₂·2cos(a)·2sin(a) + 2sin(a)·1 = 2sin(a)cos(a) + 2sin(a)
Daarvan stellen we de afgeleide gelijk aan nul (gebruik de productregel):
2cosacosa - 2sinasina + 2cosa = 0
2cos²a - 2sin²a + 2cosa = 0
2cos²a - 2(1 - cos²a) + 2cosa = 0
4cos²a + 2cosa - 2 = 0
cos²a + ¹_/2cosa - ¹_/2 = 0
(cosa - ¹_/2)(cosa + 1) = 0
Dat geeft cosa = ¹_/2 dus a = 60°
De oppervlakte is dan   2sinacosa + 2sina = 2 ·¹_/2√3 ·¹_/2 + 2 ·¹_/2√3 = ³/₂√3

Je ziet: het zelfde antwoord.
Misschien vind je deze tweede manier wel makkelijker....

Er zijn ook problemen die erom vragen om een hoek als variabele te nemen.
Neem de volgende beroemde:

Plank door de gang.

Hiernaast staat het bovenaanzicht van een gang met een bocht van 90º erin. Het brede deel is 2 meter breed, het smalle deel 1,50 meter. Iemand wil een plaat hardboard door de gang de bocht om krijgen. De plaat is net zo hoog als de gang, dus kan niet omhoog gezet worden. De dikte van de plaat is te verwaarlozen. Wat is de langste plaat die de bocht in deze gang kan maken? Oplossing: Het ligt nu erg voor de hand om de hoek die de plank met de gangwand maakt a te noemen (zie de figuur)

cosα = ²/_AC ⇒ AC = ²/_cosα sinα = ^1,5/_BC ⇒ BC = ^1.5/_sinα L = AC + BC = ²/_cosα + ^1,5/_sinα De langste plaat vind je door uit te rekenen in welke situatie (bij welke hoek ) L minimaal is. Dan is L' = 0 L = 2(cosα)^-1 + 1,5(sinα)^-1L' = -2(cosα)^-2 • -sinα + -1,5(sinα)^-2 • cosα

2sin³α = 1,5cos³α tan³α = ^1.5/₂ = 0,75 tanα = 0,75^1/3 = 0,9086 α = 42,3º Dan is L = ²/_cos42,3º + ^1,5/_sin42,3º = 4,933 meter en dat is ongeveer 493 cm

OPGAVEN.

Van een dakgoot goot is de breedte van de bodem 40 cm en de lengte van de opstaande zijwanden 20 cm.
Een dwarsdoorsnede staat in de figuur hiernaast.
De oppervlakte (O) van zo'n dwarsdoorsnede hangt af van de hellingshoek α van de opstaande wanden.
Voor deze oppervlakte O blijkt te gelden:

O = 400 · sinα · cosα + 800 · sinα

Toon aan dat deze formule juist is.

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van zo'n doorsnede.

Een tuinder gaat tegen een muur een kas bouwen. Hij heeft 4 glazen wanden van 2, 3, 3 en 2 meter breed. Die gaat hij tegen de muur zetten zoals in het bovenaanzicht hiernaast.
De hele figuur gaat symmetrisch worden.

Als de tuinder kiest voor een hoek α als in de figuur hiernaast dan geldt voor de vloeroppervlakte V van de kas:
V = 12cosα + 9sinαcosα

Toon aan dat deze formule klopt.

Bereken algebraïsch de maximale vloeroppervlakte

Een rechthoekige driehoek met zijden van 3, 4 en 5 wordt met de rechte hoek op de x-as gelegd.
Vervolgens wordt de driehoek over een hoek a gedraaid (waarbij de rechte hoek op de x-as blijft).
Tenslotte wordt er een rechthoek om de driehoek getekend met een zijde op de x-as. De rechthoek p[ast precies om de driehoek.
Zie de volgende figuur voor verschillende waarden van hoek a.

Bereken voor welke waarde van a de rechthoek een vierkant is.

Voor de oppervlakte van de rechthoek geldt: O(a) = 12sin²a + 16sina · cosa

Toon dit aan

Bereken algebraïsch welke waarden O(a) kan aannemen.

Een symmetrisch trapezium heeft hoogte h en hoek a zoals in de figuur hiernaast.
De omtrek van het trapezium is gelijk aan O

Voor de oppervlakte A geldt dan:

A = 0,5hO - ^h^²/_sina

Toon dat aan.

Toon aan dat de maximale oppervlakte bereikt wordt voor h = 0,25 · O · sina