Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Een zeshoek heeft vier zijden van 5 cm en twee zijden van 8 cm. Zie de figuur hiernaast.
De oppervlakte van deze zeshoek hangt af van de hoek α volgens de formule: O(α) = 50cosαsinα + 80sinα

Toon dat aan

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van de zeshoek.

Twee meisjes gaan een hut maken met twee platen hout die scharnierend in punt P aan elkaar zijn vastgemaakt. Ze doen dat zoals in de tekening hiernaast. De platen zijn 2 meter en 1,5 meter lang.
Aan de muur en op de grond maken ze de platen vast en krijgen zo de overkapping hiernaast. De bovenkant is horizontaal.
De hoek van de plaat met de bodem is α. Voor de oppervlakte van het zijaanzicht hiernaast geldt dan:

O = 3sinα + 1,125sinαcosα

Toon aan dat deze formule klopt.

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2005.

Een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 30º (¹/₆π radialen) en twee zijden van lengte 1 wordt op een rechthoekig blaadje papier gelegd met de top in een hoekpunt van het papier. Vervolgens wordt door elk ander hoekpunt van de driehoek een lijn getrokken evenwijdig aan een rand van het blaadje. Door de getekende lijnen en de randen van het blaadje papier wordt zo een rechthoek gevormd.

In de figuur hierboven is voor vijf verschillende posities van de driehoek de bijbehorende rechthoek getekend.

In de figuur hiernaast zijn voor een willekeurige situatie letters bij de hoekpunten gezet.
Om driehoek ABC met tophoek A is rechthoek APQR gevormd.
Bij elke stand van driehoek ABC hoort een hoek PAB. Noem de grootte van deze hoek x radialen.
Dus ∠PAB = x met 0 ≤ x ≤ ¹/₃π.
Verder is AB = AC = 1 en ∠BAC = ¹/₆π

Bereken voor welke waarde van x rechthoek APQR een vierkant is.

De oppervlakte van rechthoek APQR is een functie van x en wordt aangegeven met O(x)
Er geldt: O(x) = cosx • cos(¹/₃π - x)

Toon dit aan

Bereken de exacte waarden die O(x) kan aannemen.

Een boer heeft een stuk weiland waardoor een sloot loopt die een knik maakt, en waarbij hij een stuk land gaat omheinen met een omheining van totale lengte L (langs het water hoeft geen omheining).
Zie de figuur hiernaast.

Voor de oppervlakte van het omheinde land geldt:
O = xL - x² - 0,5x² tanα

Toon dat aan.

MEER OPGAVEN

Twee vierkanten hebben samen oppervlakte 1.
We gaan op zoek naar de rechthoek die we er altijd overheen kunnen leggen zodat beiden bedekt zijn. De vierkanten mogen elkaar niet overlappen.
De handigste bedekking is als ze tegen elkaar aan liggen zoals hiernaast getekend.
Omdat er geldt x² + y² = 1 kom je natuurlijk vanzelf op het idee om de lengtes van de zijden van de vierkanten gelijk te stellen aan sinα en cosα

Laat zien dat de oppervlakte van de rechthoek dan wordt gegeven door A = cos²α + 0,5sin2α

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van de rechthoek die beiden bedekt.

Een parasol open je door aan een touw te trekken. Het touw loopt via een katrol naar de manchet M. Met het touw kun je M over de staander omhoog trekken. De uitzetter MP zit scharnierend vast aan de balein TP.

Hoek MTP noemen we α.
Bij een geheel gesloten parasol is dus α = 0° en is de afstand TM = 75 + 80 = 155 cm.
Tijdens het openen neemt a toe en wordt TM kleiner.

De volgende formule blijkt te gelden:

Toon dat aan

Bepaal voor welke α TM het snelst afneemt als functie van α.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2008.

Het ovaal in de figuur hiernaast bestaat uit een vierkant van 2 bij 2 met aan weerszijden een halve cirkel met straal 1. M is het middelpunt van een van de halve cirkels.
n het ovaal wordt een rechthoek ABCD getekend met de hoekpunten op de halve cirkels en met de zijden evenwijdig aan de zijden van het vierkant. ∠MAB = α rad (0 < α < ¹/₂π). Hierin is de rechthoekige driehoek AMS te zien met rechthoekszijden sinα en cosα .

De oppervlakte O van rechthoek ABCD kan uitgedrukt worden in α. Er geldt: O = 2sin 2α + 4sinα.

Toon aan dat deze formule juist is.

Er geldt: ^dO/dα = 8 • cos 1¹/₂α • cos ¹/₂α.

Toon aan dat de formule voor ^dO/_dα juist is.

Bereken langs algebraïsche weg de maximale oppervlakte van rechthoek ABCD.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2009.

Binnen een cirkel met straal 4 bekijken we gebieden die bestaan uit een rechthoek (met de hoekpunten op de cirkel), aan de rechterkant aangevuld met een cirkelsegment. Zo’n gebied heeft dan de vorm van een rechthoek met een buik. Zie de volgende figuur.

In de rechterfiguur is het gebied verdeeld in twee cirkelsectoren, beide met middelpuntshoek t radialen, en zes gelijke rechthoekige driehoeken. Deze driehoeken hebben ook een hoek met grootte t radialen.
De oppervlakte O van het gebied is een functie van t, met 0 < t < ¹/₂π .
Er geldt: O(t) = 16t + 24 • sin2t .

Toon de juistheid van deze formule aan.

Bereken de exacte waarde van O als de hoogte van het gebied 4 is.

Bereken bij welke hoogte de oppervlakte maximaal is.