© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
Wat is een parameterkromme?
Kijk goed naar de plaat hiernaast.
Dit soort puzzels ken je vast nog wel van achter in de auto vroeger . Zo'n prachtig "Vakantieboek" van toen je nog op de basisschool zat.

Nou, ik zal je zeggen, dat verbinden van die punten met lijntjes wat wij als kleuter al deden, dat is eigenlijk het basisidee achter wat wiskundigen noemen een "parameterkromme".

Het is een andere manier om grafieken en krommen te tekenen. Er is nog steeds een x-as en een y-as zoals we gewend zijn, maar de getallen die bij de stippen van de tekening staan hebben ook een naam. We gebruiken er een derde letter voor, meestal t. Er is geen gewone vergelijking of formule tussen x en y, nee, deze keer worden x en y beiden uitgerekend via deze t:

Alles loopt via t 

Neem een typisch voorbeeld:
Gegeven is de kromme K door: 

Laten we gewoon een heleboel t-waarden nemen en de bijbehorende x en y uitrekenen met deze twee formules:
t 0 1/6π 1/4π 1/3π 1/2π 3/4π π 11/6π 11/4π 11/3π 11/2π 13/4π 2π
x 0 √3 2 √3 0 -2 0 √3 2 √3 0 -2 0
y -1 0 0,52 1 √3 1,93 1 0 -0,52 -1 -√3 -1.93 -1
Teken nu deze (x,y) waarden als stippen en zet de bijbehorende waarde van t erbij.
Dat geeft de figuur hiernaast.

En zie!
Daar is onze vakantieboekpuzzel al!
Verbind de punten met elkaar en je krijgt de volgende kromme:

Met de GR.
Al dit werk kan de TI-84 ook voor ons doen.......
Zet hem op  MODE - Par.
Met  Y =   krijg je nu X1T =   en Y1T =   in beeld.
Daar voer je de formules voor x en y in (waarbij de t nu de knop X,T,θ,n  is)
Met WINDOW kun je nu de x- y- én t-grenzen instellen.
Dat geeft het volgende resultaat.

   
SNIJPUNTEN met de ASSEN
   
Die zijn erg makkelijk te vinden, zolang je je het volgende maar realiseert:
   

x-as  ⇒  y = 0
y-as  ⇒  x = 0
   
En verder gaat alles uiteraard weer "via t".
Dus voor de snijpunten met de x-as stel je y(t) = 0. Dat los je op, en hopelijk vind je t-waarden.
Die t-waarden vul je in in de vergelijking voor x(t) om de bijbehorende x-waarde van het snijpunt te vinden. En met de y-as gaat het precies zo.
 
Voorbeeld.

Het voorbeeld aan het begin van deze paragraaf heeft zo te zien  één snijpunt met de x-as. Dat vinden we als volgt:
y = 0  ⇒  2sin(t - 1/6π) = 0
⇒  sin(t - 1/6π) = 0
⇒  t - 1/6π  =  0 + k • 2π  of  t - 1/6π = π + k • 2π
⇒  t = 1/6π  of  t = 11/6π
t = 1/6π geeft  x = 4sin1/6π • cos1/6π = 4 • 1/2 • 1/3√3 = 2/3√3  dus het snijpunt  (2/3√3, 0).
t = 11/6π geeft  x = 4sin11/6π • cos11/6π = 4 • -1/2 • -1/3√3 = 2/3√3 dus het snijpunt (2/3√3,0).
Gelukkig maar, want we wisten al dat er maar één snijpunt was....
   
 
 
OPGAVEN
   
1. Schets de volgende parameterkrommen:
   
  a. x(t) = 6 + cos(t)  en   y(t) = 3sin(t)
     
  b. x(t) = t + cos(2t)  en   y(t) = sin(3t)
     
  c. x(t) = cos(3t)  en   y (t) = sin(t) × sin(3t)
   
2. Hieronder staan de grafieken van x(t) en y(t).
Schets de bijbehorende parameterkromme.
       
 

               
3. Gegeven is de parameterkromme:  x(t) = t + 0,2t2  en  y(t) = 0,3t2 - 2
Bereken algebraïsch of de snijpunten van deze kromme met de x-as even ver uit elkaar liggen als de snijpunten met de y-as.
               
4. Gegeven is de parameterkromme:

x(t) = cos(t)
y(t) = sin(4t) - cos(t)

Zie de figuur hiernaast.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van deze kromme met de lijn  y = -x
   
5. Gegeven is de parameterkromme:

x(t) = 8t - t2
y(t) = 2 + sin(1/4pt)

Zie de figuur hiernaast.

De kromme snijdt zichzelf in een aantal
punten A, B, C, ...

A = (0, 2)
B = (-48, 2)

               
  a. Toon aan dat de kromme zichzelf in de punten A en B snijdt.
               
  b. Bereken de coördinaten van het punt C.
               
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)