perforaties (1)

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Perforaties.

Laten we met onze kennis van verticale asymptoten de volgende functie onderzoeken:

Wij als experts zien direct dat er voor x = 3 door nul wordt gedeeld en dat er dus bij x = 3 een verticale asymptoot zal zijn. Totdat we de grafiek gaan plotten.......
Die staat hiernaast en blijkt een rechte lijn te zijn!!!!

Hoezo asymptoot???

Wat is hier aan de hand?

Daarvoor gaan we even terug naar de vraag "Waarom vonden we eigenlijk bij breuken steeds verticale asymptoten?"
Dat was zo, omdat we niet door nul mogen delen. 6 : 0 = ? kan niet, want dan zoek je een getal waarvoor geldt ? • 0 = 6 en dat bestaat niet. Maar daarop is één uitzondering: als er in plaats van 6 óók 0 staat!
0 : 0 = ? en dat kan wel, want het is heel makkelijk een getal te vinden waarvoor ? • 0 = 0. ELK getal voldoet!!!
Conclusie:

Uit ⁰/₀ kan van alles komen! We moeten het per geval onderzoeken.
In bovenstaande functie vind je voor x = 3 inderdaad y = ⁰/₀ en in dit geval lijkt daar, aan de grafiek te zien, bij x = 3 ongeveer -5 uit te komen.

HOE KOMEN WE DAAR ACHTER?

Dat kan door op een handige manier het functievoorschrift anders te schrijven. Meestal gaat dat door te ontbinden, Kijk maar:

Bij de laatste stap zijn teller en noemer gedeeld door (x - 3) daarbij moeten we wel bedenken dat dat niet mag als (x - 3) nul is. De formule hierboven geldt dus voor elke x, behalve voor x = 3.
Conclusie: de grafiek van f(x) is gelijk aan de grafiek van y = x - 8, behalve bij x = 3
Bij x = 3 heeft de grafiek van f(x) een gaatje (hij bestaat daar niet). We noemen zo'n gaatje een perforatie.

Conclusie:
De grafiek van f(x) is voor elke x, behalve x = 3, gelijk aan de grafiek van y = x - 8. Alleen bij x = 3 heeft de grafiek van f(x) een perforatie, en die van y = x - 8 niet.

Aanpak bij delen door nul.

Bij delen door nul heb je dus soms te maken met een verticale asymptoot, en soms met een perforatie.
Dat werkt zó:

De moeilijkheid zit hem in die stap "herleid het functievoorschrift"
Meestal zul je daarbij proberen om "iets wat nul wordt" buiten haakjes te zetten zodat je dat eventueel weg kunt delen.
Als er bijvoorbeeld bij x = 3 ergens ⁰/₀ uitkomt zou ik gaan proberen om (x - 3) in de teller en noemer buiten haakjes te zetten, immers dat maakt het nul.

Soms kun je daarbij zelfs een staartdeling gebruiken. Zie het volgende voorbeeld.

Voorbeeld. Bereken de volgende limiet:

Oplossing:
x = 2 invullen geeft ⁰/₀
Je moet dus het functievoorschrift gaan herleiden en daarbij het liefst (x - 2) buiten haakjes krijgen.

De teller is makkelijk   x² + 6x - 16 = (x - 2)(x + 8)

De noemer is lastiger.
Je wilt eigenlijk schrijven   2x³ - 3x² + 3x - 10 = (x - 2) · (......)
Nou, als ik moet oplossen   6 = 2 · ? dan bereken ik gewoon ⁶/₃
Dus als je wilt weten wat daar op die stippeltjes moet staan dan maak je gewoon een staartdeling:

Dus 2x³ - 3x² + 3x - 10 = (x - 2) · (2x² + x + 5)
Dan kun je die (x - 2) uit teller en noemer tegen elkaar wegdelen.
Dan hou je over:

Opnieuw x = 2 invullen levert nu ¹⁰/₁₅ = ²_/3
De grafiek van deze functie heeft dus een perforatie (2, ²/₃)

OPGAVEN

1. Onderzoek of de grafieken van de volgende functies perforaties en/of verticale asymptoten hebben.

Geef een functievoorschrift van een functie met een perforatie bij (2,12).

Geef een functievoorschrift van een functie met een perforatie bij x = 2 en een verticale asymptoot bij x = 7.

Geef een functievoorschrift van een horizontale lijn met een perforatie (6, 2).

Gegeven zijn de functies:

Er zijn drie waarden voor p waarvoor de grafiek van f_p een perforatie heeft. Welke waarden zijn dat?

Voor welke waarden van p heeft de grafiek van f_p géén verticale asymptoot?

Gegeven zijn de functies:

Voor welke p hebben de grafieken van f en g géén snijpunt?

Voor elke waarde van a wordt de functie f_a gegeven door:

Er zijn twee waarden van a waarvoor de grafiek van f_a een lijn met een perforatie is. Bereken exact, voor de grootste van die twee waarden van a, de coördinaten van de perforatie.

Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2015-I

Voor elke waarde van a wordt de functie f_a gegeven door:

Er zijn twee waarden van a waarvoor de grafiek van f_a een lijn met een perforatie is. Bereken exact, voor de grootste van die twee waarden van a, de coördinaten van de perforatie.