| |
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
| De
productregel. |
 |
|
|
|
Stel dat je een functie hebt die
is opgebouwd uit twee andere functies met elkaar vermenigvuldigd. Dan weet je nog niet hoe je daar de afgeleide van kunt maken. Je kunt het
al wel door haakjes weg te werken: f(x) = (x2
+ 5) • (x5 + 2x) is een makkie intussen.
Verder kun je het ook al door machten samen te nemen: f(x)
= 2x•√x daar lig je
natuurlijk ook niet meer wakker van.
Maar hoe is het met f(x) = x • √(x
+ 3) ?????????
Zo'n functie y die ontstaat door twee andere functies met elkaar
te vermenigvuldigen heet een productfunctie.
In het algemeen is de vraag van deze les:
| |
|
Hoe kun je een
productfunctie y = f
· g
differentiëren? |
|
| |
|
| Om dat te doen hebben we een
nieuwe differentieerregel nodig, en die heet heel toepasselijk de
productregel: |
| |
|
| (f
• g)'
= f ' •
g + f •
g ' |
|
|
|
Voorbeeld 1: Bereken
de afgeleide van y = (x2 + 2x) •
(4x3 + 3)
Daar staat f • g met f(x)
= x2 + 2x en g(x) = 4x3
+ 3
De productregel toepassen: |
|
|
|
| |
Voorbeeld 2: Bereken
de afgeleide van y = √x
• (2x4 + 5x)
Daar staat f • g met f(x) = √x
= x0,5 en g(x) = 2x4
+ 5x
De productregel toepassen: |
|
|
|
|
|
| Denk
om de kettingregel! |
|
|
Tijdens het toepassen van de
productregel kun je de kettingregel nodig hebben, namelijk om die f '
of g' te berekenen.
Neem bijvoorbeeld de functie y = (x2
+ 5x) • √(6 + 5x3)
Daar staat y = f • g met f(x)
= x2 + 5x en g(x) =
√(6
+ 5x3) = (6 + 5x3)0,5
Als je nu de productregel toepast moet je er wel om denken dat g
een kettingfunctie is (er staat eigenlijk [ ]0,5 )
De afgeleide wordt daarom: |
|
|
| Waarbij die laatste 15x2
dus de afgeleide is van 6 + 5x3 |
| |
|
| |
|
|
|
OPGAVEN |
|
|
| 1. |
Bereken met de productregel de
afgeleide van de volgende functies: |
| |
|
|
|
|
|
a. |
f(x) = x • √(x
- 2) |
e. |
f(x) = x3 • ( x
+ √x - 4) |
| |
|
|
|
|
|
b. |
f(x) = (x5
- 6x) • (2x4 -
4x2) |
f. |
y = (x2 + 3x)
• 1/(x - 2) |
| |
|
|
|
|
|
c. |
y = (x + 1)4 • x3 |
g. |
y = (3x -
5)3
• (4 - 2x) |
| |
|
|
|
|
|
d. |
y = (3x + x2 ) •
√x |
h. |
y = √(x -
1) • (x
- x4) |
|
|
|
|
|
| 2. |
De vragen b) en d) en e)
hierboven kun je ook vrij eenvoudig zonder de productregel uitrekenen.
Doe dat en controleer of de antwoorden met en zonder de
productregel gelijk zijn. |
|
|
|
|
| 3. |
Gegeven is de functie
f(x) = √(x
+
5)
Op de grafiek van f ligt punt P met xP
= p en p < 0
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
a. |
Druk de lengte van OP uit in p. |
| |
|
|
| |
b. |
Bereken voor welke p de afstand OP minimaal
is. |
|
|
|
|
|
|
|
Q is de projectie van P op de x-as,
dus
Q = (p, 0) |
|
|
|
| |
|
|
| |
c. |
Maak een formule voor de oppervlakte van driehoek
OPQ, en bereken daarna de maximale oppervlakte. |
|
|
|
|
| 4. |
De grafiek van f(x)
= x • √(x + 4) ziet er uit als
hiernaast.
Bereken algebraïsch de x- coördinaat van de top van deze
grafiek. |
 |
| |
|
| |
|
| |
|
|
|
| 5. |
De functie f is
gegeven door
f(x) = x√(6
- 2x).
De lijn
l
raakt de grafiek van
f
in
het punt
P(1,
2)
Punt R is het snijpunt van
l
met de
x-as.
Punt
Q is het beginpunt van de
grafiek van f.
Bereken exact de oppervlakte van driehoek
PQR |
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
|