© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Projecties en Spiegelingen
       
Er zijn nog twee bewerkingen die we uit kunnen voeren op een vector, en dat zijn projecties en spiegelingen. Daarbij gaat het alleen om, projecties op lijnen door de oorsprong en spiegelingen in lijnen door de oorsprong.

Als lijnen niet door de oorsprong gaan, dan zijn de afbeeldingen niet lineair. 
Ga zelf maar even snel na dat dan niet geldt  M(λv) = λM(v)

Om de matrix die bij zo'n projectie of spiegeling hoort te vinden gaan we gebruik maken van de beelden van de basisvectoren (zoals we in de vorige les al deden)
       
1.  Projectie op de lijn  y = ax.
       
Oké, de jacht is geopend op  het beeld van punt (1, 0) bij spiegeling
in de lijn y = ax  En op het beeld van (0, 1) natuurlijk; als we ze beiden hebben opgespoord hebben we direct matrix M gevonden.

Begin met het punt  (1, 0)
Maak een lijn m loodrecht op y = ax   die door (1, 0) gaat.
De helling daarvan is  -1/a  dus het is de lijn  y = -1/a • x  + 1/a 
Snijden met de lijn y = ax geeft  -1/a • x + 1/a = ax 
Vermenigvuldig met a:   -x  + 1 = a2x 
Dat geeft  x =  1/(1 + a²)  en dan is  y =  a/(1 + a²)

Doe dan hetzelfde met punt  (0, 1) :
De loodrechte lijn wordt  y = -1/a • x + 1
Het snijpunt wordt  x =  a/(1 + a²)   en  y =  a²/(1 + a²)

We hebben nu de beide beelden van de basisvectoren, dus is de matrix bekend:
       

       
trouwens, voor wie er meer meetkundig aangelegd is, kun je deze beide beelden ook makkelijk met gelijkvormige driehoeken afleiden. Misschien nog wel makkelijker..... Als je dat graag wilt zien, kijk dan bij de verdieping hiernaast.
     
2.  Spiegeling in de lijn y = ax.
       
Onze uitgebreide projectie-kennis van zojuist kunnen we nu natuurlijk makkelijk gebruiken om te spiegelen in de lijn y = ax.  Immers dan gaan we vanaf (1, 0) naar het projectiepunt ( 1/(1 + a²)  , a/(1 + a²))   en dan "nog een keer zoveel verder".
Laten we dat maar met vectoren opschrijven, dat lijkt me wel zo veilig. 
Noem (1, 0) = P  en het projectiepunt P' en het spiegelpunt P'', dan geldt:

En hetzelfde met  (0, 1) = Q  en het projectiepunt Q' en het spiegelpunt Q''  geeft dan:

We hebben nu de beide beelden van de basisvectoren, dus is de matrix bekend:
       

       
 
 
   OPGAVEN
       
1. ABC  is de driehoek met hoekpunten A(4, 0) en B(5, 4) en C(1, 3)

De projectie van deze driehoek op de lijn y = 3x is een lijnstuk.
Bereken algebraïsch de lengte van dit lijnstuk.
       
2. a. Punt A (2, 3) wordt geprojecteerd op een lijn door de oorsprong.
De projectie is het punt  A ' waarvan de x-coördinaat gelijk is aan 1/2.
Geef alle mogelijkheden voor de y-coördinaat van A '.
         
  b. Punt A (2, 3) wordt gespiegeld in een lijn door de oorsprong.
De projectie is het punt A ' en dat punt ligt op de lijn y = 2x.
Geef alle mogelijkheden voor de vergelijking van de spiegellijn.
         
3. Als je de y-as spiegelt in de lijn y = 3x krijg je weer een  lijn door de oorsprong.
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van die lijn.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)