© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
 
De afstand van een punt tot een lijn.
De loodrechte stand van twee lijnen kun je mooi gebruiken om de (kortste) afstand van een punt P tot een lijn l te berekenen.
Dat gaat met de volgende drie stappen:

-  geef de formule van een lijn m die door P gaat en loodrecht op l staat.
-  bereken het snijpunt S van m en l.
-  bereken de afstand van P tot S met Pythagoras.

In feite maken we vergelijkingen voor de tekening hiernaast.

 
Voorbeeld:    Bereken de afstand van punt P(4, 6)  tot de lijn l:  4x + 3y = 14

Oplossing:
l is de lijn  y = 14/3 - 4/3x
Loodrecht daarop staat een lijn m met richtingscoëfficiënt 3/4  (want  -4/3 • 3/4 = -1)
Die lijn  gaat door P, dus  6 = 3/4 • 4 + b  en dat geeft  b = 3  dus m is de lijn  y = 3/4x + 3
Snijden met l geeft   4x + 3(3/4x + 3) = 14
4x + 21/4x + 9 = 14
61/4x = 5
x = 0,8  en  y =  3,6  dus  S = (0.8, 3.6)
De afstand is PS = √((4 - 0,8)2 + (6 - 3,6)2) = √16 = 4
   
De afstand tussen twee evenwijdige lijnen.

Oké dat kun je eigenlijk best zelf verzinnen......
Verzin dat maar zelf en kijk dan in het blok hieronder of je het goed had.
   

Kies een willekeurig punt van de ene lijn
Bereken daarna de afstand van dat punt tot de andere lijn.
   
 
 
  OPGAVEN
   
1. Bereken de afstand van de volgende punten tot de gegeven lijnen:
       
  a. punt P(-4, 1) tot de lijn  l:  3y + 4x = 12 
       
  b. punt Q(9, 4) tot de lijn  m: y + 3 = 3x
       
  c. punt R(2,8) tot de lijn  n: 3y + 6 = 2x
   
2. Bereken de (kortste) afstand tussen de lijnen  y = 4x + 2  en  y = 4x + 20
       
3. Gegeven is de driehoek met hoekpunten  A(1, 5) en B(7, 9) en   C(15, 1)
       
  a. Bereken de afstand van punt C tot zijde AB en gebruik deze afstand om de oppervlakte van de driehoek te berekenen.
       
  In de eerste klas heb je geleerd om de oppervlakte van een driehoek te berekenen door deze  "in te lijsten" in een rechthoek. Je tekent dan een rechthoek om de driehoek heen en je berekent de oppervlaktes van alle stukken van die rechthoek die NIET bij de driehoek horen.
       
  b. Controleer op deze manier of je antwoord op vraag a) goed is.
       
4. Als je in vraag 1b) voor S een willekeurig punt van de lijn m neemt met x-coördinaat s, dan kun je voor de afstand QS de volgende formule opstellen:
 

QS = √(10s2 - 60s + 130)
       
  a. Toon deze formule aan.  
       
  b. Bereken de minimale afstand van Q tot S en controleer dat dat klopt met je antwoord op  vraag 1b)
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)