© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Raaklijn aan een cirkel  
 
Een raaklijn aan een cirkel heeft één geweldig prettige eigenschap:
       

De raaklijn aan een cirkel
staat loodrecht op de lijn van het raakpunt naar het middelpunt.
       
Dat staat weergegeven in het plaatje hiernaast.

Die raaklijn staat dus loodrecht op MR

Maar voor twee lijnen die loodrecht op elkaar staan weten we al dat geldt:
 

rc1 × rc2 = -1

 

Dat kinnen we op twee manieren handig gaan gebruiken,

 

 
1. Geef de vergelijking van de raaklijn in een bepaald punt van de cirkel.
       
De raaklijn heeft vergelijking y = ax + b  ('t is immers een rechte lijn)
Als je de coördinaten van het raakpunt R weet, dan weet je dus ook de helling van  MR
Maar dan kun je daar met bovenstaande eigenschap de helling van de raaklijn mee berekenen.
Als je de a van de lijn weet kun je de b berekenen door het raakpunt in te vullen.
       
Voorbeeld.
Geef de vergelijking van de raaklijnen aan de cirkel  x2 + y2  + 2x  - 3y = 26 in het punten waarvoor x = 2

Oplossing:
x2 + 2x + 1 - 1 + y2 - 1,5y + 2,25 - 2,25 = 26
(x + 1)2 + (y - 3/4)2 = 29,25
Het middelpunt is  M = (-1, 3/4)
x = 2  geeft  y2 - 3y - 18 = 0  dus  y = 6  ∨  y = -3
De raakpunten zijn de punten (2, 6)  en  (2, -3)

De helling tussen (-1, 3/4) en (2, 6) is  7/4  dus de raaklijn heeft helling  -4/7
6 = -4/7× 2 + b geeft dan  b = 50/7
De raaklijn is de lijn  y = -4/7x + 50/7

De helling tussen (-1, 3/4) en (2, -3) is  -5/4  dus de raaklijn heeft helling  4/5
-3 = 4/5 × 2 + b geeft dan  b = -23/5
De raaklijn is de lijn  y = 4/5x - 23/5
       
2. Als je de helling van de raaklijn weet, kun je het raakpunt berekenen.
       
Dat zit zo:
Als je de helling van de raaklijn weet, dan weet je ook de helling van de lijn MR (staat daar namelijk loodrecht op)
Maar dan kun je de vergelijking van MR opstellen want je weet dat die door M gaat.
Als je vervolgens MR snijdt met de cirkel vind je de mogelijke raakpunten.
       
Voorbeeld
Een lijn met helling -2 is raaklijn aan de cirkel   (x + 3)2 + (y + 2)2 = 80. Geef een vergelijking van die lijn.

Oplossing:
De raaklijn heeft helling -2 dus de lijn MR heeft helling 1/2
M = (-3, -2)
-2 = 1/2 × -3 + b geeft  b = -1/2
De lijn MR is de lijn  y = 1/2x - 1/2
Snijden met de cirkel:   (x + 3)2 + (1/2x + 3/2)2 = 80
x2 + 6x + 9 + 1/4x2 + 3/2x + 9/4 = 80
5/4x2 + 15/2x - 275/4 = 0
5x2 + 30x - 275 = 0
x2 + 6x - 55 = 0
(x - 5)(x + 11) + 0
x = 5  ∨  x = -11
De raakpunten zijn (5, 2)  en  (-11, -6)

Raakpunt  (5, 2):   2 = -2 × 5 + b geeft  b = 12  en de raaklijn  y = -2x + 12
Raakpunt  (-11, -6):   -6 = -2 × -11 + b geeft  b = -28  en de raaklijn  y = -2x - 28
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Een lijn met helling -2,5 raakt de cirkel x2 + y2  + 2x - 8y = 12. 
Geef een vergelijking van die lijn en de coördinaten van het raakpunt.
       
2. a. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de cirkel  x2 - 2x  + y2 - 10y  = 19  in het punt  (7,8).
       
  b. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de cirkel  x2 + y2 + 2x + 4y = 35  in het punt  (5, 0).
       
3. De cirkel c heeft middelpunt M met  yM  = 10.
Lijn l  met vergelijking y = 4/3x  raakt cirkel c in punt A(6, 8).

Bewijs dat c de y-as raakt.
       
4. Lijn l heeft vergelijking  y = 2x
c is de cirkel met middelpunt  (-2, 10)  en straal √45.
Lijn l wordt over een afstand omhooggeschoven net zolang totdat de lijn voor het eerst de cirkel raakt.
Over welke afstand is de lijn dan omhooggeschoven?
       
5. k is de lijn  y = 1 + 6x
Cirkel c heeft middelpunt  (4,5) en raakt lijn k
Geef een vergelijking van deze cirkel.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)