© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
Raken en Loodrecht snijden
       
Grafieken die elkaar raken.
   
Een raaklijn is eigenlijk een speciaal geval van het veel algemenere geval waarin twee willekeurige grafieken elkaar raken. Bij de raaklijn is één van beiden een rechte lijn, maar dat is natuurlijk helemaal niet nodig. Ook twee kromme grafieken kunnen elkaar best raken.

Daarvoor zijn twee voorwaarden nodig:  op de eerste plaats moeten de grafieken door het zelfde punt R gaan dat lijkt me logisch. Maar daarnaast moeten in dat punt R hun hellingen ook nog aan elkaar gelijk zijn, zodat ze echt "langs elkaar" lopen.
Samengevat:
   

De grafieken van f en g raken elkaar:

 

 

1.   f '= g'

2.  f ' = g'

 

 
   
Stel in zulke gevallen gewoon twee vergelijkingen op (één voor voorwaarde 1 en één voor voorwaarde 2)  en probeer het stelsel vergelijkingen dat je zo hebt gekregen op te lossen.
   
Voorbeeld.  Voor  welke p raken de parabolen  y = x2 + px + 4 
en  y = -2x2 + 4x + p  elkaar?

Oplossing:
f = g   geeft  x2 + px + 4 = -2x2 + 4x + p
f ' = g'  geeft  2x + p = -4x + 4
De tweede vergelijking geeft  p = 4 - 6x en dat kun je invullen in de eerste:  x2 + (4 - 6x)x + 4 = -2x2 + 4x + (4 - 6x)
⇒  -3x2 + 6x = 0
⇒  x = 0  of  x = 2  en omdat  p = 4 - 6x  levert dat  p = 4  of  p = -8
Hiernaast staan beide mogelijkheden geplot op de GR.

Verdraaid! Het lijkt te kloppen!
 
Loodrecht snijdende grafieken.
 
In deze les hebben we bestudeerd wat je over twee lijnen kunt zeggen als je weet dat ze elkaar loodrecht snijden. De conclusie daar was als volgt:
       

twee lijnen loodrecht op elkaar  ⇔  a1 · a2 = -1

       
Daarin stellen a1  en a2  de hellinggetallen ( richtingscoëfficiënten) van de twee lijnen voor. 
Zo zullen bijvoorbeeld de lijnen y = 0,2x + 4  en   y = -5x + 12  loodrecht op elkaar staan omdat 0,2 · -5 = -1
En de lijnen y = 2x + 3  en  y = -0,1x - 5 staan niet loodrecht op elkaar want  2 · -0,1 = -0,2 en dat is niet -1.
       
Gekromde grafieken.
       
Bij gekromde grafieken ligt de zaak anders, immers die hebben niet één hellinggetal; maar daar is de helling in elk punt van de grafiek weer anders. Toch kunnen sommige gekromde grafieken elkaar best loodrecht snijden, en anderen niet. Kijk maar:
       

       
De hoeken waaronder deze grafieken elkaar snijden zijn (ongeveer) gelijk aan die groene getekende hoeken. Het lijkt erop dat in de middelste figuur de grafieken elkaar loodrecht snijden.  De vraag is:  hoe berekenen we of dat inderdaad zo is, als we de formules f en g van de grafieken weten?

Het antwoord is eenvoudig, als je je maar bedenkt wat de helling van de grafiek in een bepaald punt nou precies voorstelt.
       

De helling van de grafiek van  f  in een bepaald punt is gelijk aan de afgeleide f ' in dat punt.
       
Dat betekent in de bovenstaande drie grafieken dat de hellinggetallen van die groene lijntjes gelijk zijn aan f ' en g' . Maar als die groene lijntjes loodrecht op elkaar moeten staan dan betekent dat dus dat hun hellinggetallen met elkaar vermenigvuldigd -1 op moet leveren.  Dus moet gelden  f ' · g' = -1.
Natuurlijk is dat alleen nog niet voldoende: de grafieken moeten uiteraard elkaar ook snijden in dat punt. Dat geeft als extra voorwaarde dat moet gelden  f = g
       

De grafieken van f en g snijden elkaar loodrecht:

 

 

1.    f '= g'

2.   f ' · g' = -1

 

 
       
Het lijkt nogal op de vorige les over rakende grafieken. Ook hier stel je twee vergelijkingen op, en hoop je dat je uit die twee samen een oplossing kunt vinden.

Voorbeeld.   Voor welke p snijden de grafieken van  y = x2 + p  en  y = p/x elkaar loodrecht?

f = g  geeft    x2 + p = p/x
f '· g' = -1  geeft  2x · -p/x2 = -1  ofwel  2p = x

De laatste invullen in de eerste:  (2p)2  + p  = p/2p 
⇒ 4p2 + p = 0,5 
⇒  4p2 + p - 0,5 = 0  
De ABC formule geeft  p = -0,5  of  p = 0,25
p = -0,5 geeft  x = -1  en  p = 0,25  geeft  x = 0,5   
Dat zijn de volgende twee gevallen, en dat lijkt inderdaad te kloppen.

       

       
     
 
 
 
       
1. Voor welke p raken  de volgende grafieken elkaar?
         
  a. de parabolen  y = x2 - px - 8  en  y = 3x2 + px
         
  b. de grafieken van  f(x) = x3 - 2x2 + p  en  g(x) = -x2 + 8x - 6
         
  c. de parabolen  y = x2 + px + 4  en   y = px2 + 5x
   
2. De grafieken van y = √x  en  y = 2x2  raken elkaar niet; ze snijden elkaar.
Maar je kunt de grafiek van y = 2x2 wel net zo ver omhoog schuiven dat hij de grafiek van  y = √x precies raakt.
Hoe ver moet je hem daarvoor omhoog schuiven?
       
3. a. Voor welke a snijden de grafieken van y = ax2  en  y = 4/x elkaar loodrecht?
       
  b. Voor welke p snijden de grafieken van  y = x2 + 8x en  y = 1/x + p  elkaar loodrecht?
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)