© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Redeneren met formules
Soms kun je door handig te redeneren zonder berekeningen te maken of grafieken te plotten toch al sommige eigenschappen van een formule en grafiek beredeneren.

1. Stijgen of dalen.
       
Als een grafiek stijgt dan betekent dat, dat de uitkomst van de formule toeneemt als x toeneemt. Dat lijkt me logisch.
Dus om te beredeneren of een grafiek stijgt of daalt beginnen we altijd met:
       

"Stel dat x toeneemt....."
       
Vervolgens gaan we kijken wat er dan met de hele formule gebeurt.
Daarvoor gebruiken we een paar erg simpele regeltjes:
       

1.  "Als het getal wat je ergens van aftrekt groter wordt,
dan wordt het antwoord juist kleiner"
       
Mee eens?
Als  bijvoorbeeld  4t  groter wordt, dan wordt 250 - 4t  juist kleiner want dan gaat er van 250 een groter getal af.
       

2.  "Als de noemer van een breuk groter wordt,
dan wordt de hele breuk kleiner"
       
Mee eens?
Als bijvoorbeeld  a + 3  groter wordt, dan wordt  10/(a + 3)  juist kleiner want dan deel je 10 door een groter getal.
       

3.   "Als een getal  x  groter wordt
dan wordt  xpositief getal    ook groter"

       
Mee eens?
Als bijvoorbeeld  t  groter wordt, dan wordt  t2 ook groter, een ook  t3 en t 0,8  en  t2,45 en  .....
Negatieve machten bekijken we in een latere les.
       

4.  "Als een getal groter wordt,
dan wordt de wortel ervan ook groter"
       
Mee eens?

Mooi, dan is hier een voorbeeld van hoe al die regeltjes samen kunnen werken:
 
Voorbeeld.
Beredeneer of de grafiek van   P = 100 - 50/(60 - √t)  stijgt of daalt.

De redenering:
Stel dat t toeneemt.....    (zo beginnen we altijd)
Dan neemt  √t ook toe    (regel 4)
Dan neemt 60 - √t  af    (regel 1)
Dan neemt  5/(60 - √t)  toe   (regel 2)
Dan neemt  100 - 5/(60 - √t)  af   (regel 1)
Conclusie:   als t toeneemt dan neemt P af, dus de grafiek daalt.
       
2. Grenswaarden.
       
Soms zijn er grafieken die op den duur constant worden.

Wacht, dat moet ik beter uitleggen......

Met "constant worden" bedoel ik:  "haast niet meer veranderen"
Met  "op den duur"  bedoel ik::  "voor hele grote waarden van x"  (x is dan bijna altijd de tijd  t).
Dat betekent dus dat zulke grafieken aan de rechterkant bijna horizontaal gaan lopen.
Hier zijn er een paar:
       

       
Met die pijl daar aan de rechterkant heb ik proberen aan te geven dat de grafiek naar die stippellijn toe loopt.
De hoogte van die stippellijn noemen we de grenswaarde G.
We zagen in een eerdere les al hoe je zo'n grenswaarde met je GR kunt opsporen, maar soms kun je de grenswaarde ook beredeneren met behulp van de formule.

Vraag jezelf het volgende af:
       
"Wat gebeurt er met de formule als x (of t) oneindig groot wordt?"
       
Als je kunt beredeneren dat er dan een constant getal uit de formule komt, dan heb je zo'n grenswaarde gevonden.
 
Voorbeeld.
Welke grenswaarde heeft de grafiek van   N =  130 + 3420/(2t + 8)  ?

Oplossing?
Wat gebeurt er als t oneindig groot wordt?  (nou ja oneindig..... ik bedoel "heel heel heel heel" groot)
Dan wordt 2t + 8  ook oneindig groot.
Maar dan moet je 3420 delen door een oneindig groot getal! Dus daar komt bijna  nul uit  (doe maar eens 3420 gedeeld door 10 miljoen).
Dan staat er ongeveer  N = 130 +  "bijna nul"  dus dat zal bijna  130 worden.
Conclusie:  De grafiek van N  heeft  een grenswaarde van N = 130.
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Beredeneer met de volgende formules of de grafiek stijgt of daalt:
       
  a.
       
  b.
       
  c.
       
2. Beredeneer met de volgende formules of de grafiek een grenswaarde heeft, en zo ja, welke.
       
  a.
       
  b.
       
3. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2022-I
 
  Lucht bevat waterdamp. Hoeveel waterdamp er in de lucht zit, varieert. De (relatieve) luchtvochtigheid is een percentage dat aangeeft hoe vochtig de lucht is. Dit ligt tussen 0% (zeer droge lucht) en 100% (verzadigde lucht). De luchtvochtigheid kan worden gemeten met een psychrometer. Dit is een apparaatje met twee thermometers. De ene thermometer is een gewone thermometer: deze meet de luchttemperatuur  (T). De andere thermometer heeft een natte kous om het vloeistofreservoir. Zie de foto.

Door de psychrometer rond te draaien, verdampt water uit de natte kous. Daardoor koelt de kous af en zal de thermometer met de natte kous een lagere temperatuur aangeven dan de luchttemperatuur. We noemen deze temperatuur de natte temperatuur (Tnat).

       
  De luchtvochtigheid  L  kan berekend worden met de volgende formule:  
L = 100  - 330/45 • (T - Tnat)
Er geldt: hoe lager de natte temperatuur is, des te lager is de luchtvochtigheid. Dit kan beredeneerd worden aan de hand van de formule.

Geef deze redenering, zonder getallen in te vullen of een schets of tekening van de grafiek van L te maken.
       
4. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2018-I.

In de zomer kan in natuurgebieden met veel bos gemakkelijk brand ontstaan. Het risico op bosbrand wordt vooral bepaald door de temperatuur van de lucht en door de hoeveelheid vocht in de lucht.
Om het risico op bosbrand goed in beeld te krijgen, wordt gebruikgemaakt van een brandgevaarindex.

In Scandinavië gebruikt men als brandgevaarindex de Angström Index, die wordt berekend met de volgende formule
       
 

       
  Hierin is IA de Angström Index, V de relatieve luchtvochtigheid in procenten en T de temperatuur in ºC. De relatieve luchtvochtigheid V geeft de hoeveelheid vocht in de lucht aan ten opzichte van de hoeveelheid vocht die de lucht maximaal kan bevatten. De relatieve luchtvochtigheid kan niet meer dan 100% zijn.
Hoe lager de waarde van IA , hoe groter het risico op bosbrand.

Als de temperatuur constant is, dan neemt het risico op bosbrand toe als de relatieve luchtvochtigheid afneemt.
Beredeneer zonder getallenvoorbeelden dat de formule hiermee in overeenstemming is.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)