© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Rijen met de GR.
Een voordeel van recursievergelijkingen is dat ze vaak erg eenvoudig zijn. Maar ze hebben ook een groot nadeel. Dat is dat je niet zσmaar een getal uit de rij kunt uitrekenen; dat kan pas als je alle vorige getallen ook eerst uitrekent.
Dat kan nogal een werk zijn.....

Gelukkig springt daar onze TI-84 ons te hulp. Die heeft een manier om te rekenen met recursievergelijkingen, en dat gaat als volgt:

Druk op  MODE  en zet de vierde regel op Seq
Druk op  Y=   en je ziet het scherm hiernaast.
Om nu een rij un in je rekenmachine te zetten moet je drie dingen invoeren:
 

•   nMin.
    Daar moet staan welk nummer het eerste getal van je rij heeft.
    Dat zal dus meestal nummer 0 of nummer 1 zijn.
•   u(n) =
    Daar voer je je recursievergelijking in. De n is nu de knop   X,T,q,n   geworden en de u vind je bij SHIFT -  7
•   u(0) =
•   u(1) =
    Daar komt te staan hoe groot het eerste getal van je rij is.
 
Laten we onze torens-van-Hanoi-rij gaan invoeren.
Die zag er zσ uit:    1 - 3 - 7 - 15 - 31 - ..... 
En de recursieformule was  un = 2 • un - 1 + 1
Als we het eerste getal uit de rij nummer 1 noemen (een toren van 1 schijf) dan moet je dus invoeren:
    •  nMin = 1
    •  u(n) = 2 * u(n - 1) + 1
    •  u(1) = 1
zoals hiernaast is gedaan.

 
Kijk nu bij TABLE en je krijgt de rij getallen in beeld.
(als je een andere tabel krijgt kun je die uiteraard met TBLSET aanpassen)
u0 is er uiteraard niet, want onze rij begon immers bij  nMin = 1
Verder staan daar inderdaad de getallen uit deze rij. Mooi. Dat klopt.

Er is een legende over een Vietnamese tempel waar priesters dag in dag uit bezig zijn zo'n toren van 64 gouden schijven op deze manier te verplaatsen. En als dat werk volbracht is, dan is dat het einde van onze wereld!!!!
Nou, laten we dat dan maar gauw uitrekenen!

Bereken met behulp van jouw tabel hoe lang deze priesters bezig zullen zijn als ze ιιn schijf per seconde verplaatsen. (het gaat wat sneller als je met TBLSET het begin van je tabel op Tblstart = 64 zet).
Vergelijk de gevonden tijd met de leeftijd van onze aarde (ongeveer 4,5 • 109 jaar) en kijk of we ons al zorgen moeten gaan maken.......
         
Er is ook een manier om een rij in de mode Func van je GR direct te krijgen, maar die is niet zo heel belangrijk. Als het er meer over wilt weten moet je deze les van de GR doornemen.
         
Meerdere rijen in voeren.
         
Net als bij u(n) kun je ook tegelijk rijen bij  v(n)  en  w(n) invoeren, maar ze moeten wel met hetzelfde nummer beginnen. Daarom kun je alleen nMin in het begin invoeren voor alle rijen tegelijk.

Wat heb je daaraan?

Dat kun je gebruiken om
• rijen met elkaar te vergelijken
• rijen van elkaar af te laten hangen.

Vooruit dan maar;  twee voorbeeldjes  voorbeeldje:
 
Voorbeeld 1.
Jan begint met een maandsalaris van €600  en krijgt elk jaar  eerst een opslag van 6% en daarna nog eens €50,-
Kees begint met een maandsalaris van  €1000 en krijgt elk jaar eerst een opslag van  4% en daarna nog eens  €60,-
Wanneer verdient Jan meer dan Kees?

nMin = 0
u(n) = 1,06 * u(n -  1) + 50
u(nMin) = 600
v(n) = 1,04 * v(n -  1) + 60
v(nMin) = 1000
Kijk wanneer u(n)  groter is dan  v(n).   Dat is vanaf  n = 23  
 
Voorbeeld 2.
Natasja en  Kim gaan om de beurt getallen noemen.
Kim noemt steeds het vorige getal van Natasja, maar vermenigvuldigt met 5 en daarna 3 er afgetrokken.
Natasja noemt steeds het vorige getal van Kim, maar dan vermenigvuldigd met 2 en daarna 1 er bij opgeteld.
Natasja begint met het getal 12, dus Kim zegt daarna 57, en Natasja daarna 115
Wat is het tiende getal dat Natasja noemt?

nMin = 1
u(n) =  v(n -  1) • 5 - 3    (de getallen van Natasja)
u(1) = 12
v(n) = u(n -  1) • 2 + 1   (de getallen van Kim)
v(1) = 57
TABLE:  u(10) = 2822222
 

Denk erom dat achter het  = teken van de recursievergelijking
alleen termen met n - 1, n - 2, enz. mogen staan.
Er mag nooit een u(n) of v(n) aan de rechterkant van zo'n vergelijking staan!!
         
 
 
OPGAVEN
         
1. Gegeven is de rij getallen  un = √(4 + un - 1)   met  u1 = 500000
         
  a. Bereken  u9 van deze rij getallen in drie decimalen nauwkeurig.
       
  b. Onderzoek wat er zal gebeuren met un als je alsmaar doorgaat.
       
  c. Onderzoek met je GR of het resultaat van vraag b) afhangt van het begingetal u1
         
2. Gegeven is de recursievergelijking 
un = 2,5 • un - 1 • (1 - un - 1)  met  u1 = 0,0001
         
  a. Bereken  u15  in vier decimalen nauwkeurig.
       
  b. Onderzoek hoe de rij verloopt.
         
3. De sportvissersvereniging  "Dobbertje Onder" heeft het beheer over een groot meer waarin gevist mag worden. De vereniging organiseert niet alleen jaarlijks een aantal viswedstrijden maar zorgt er ook voor dat de visstand in het meer op peil blijft.
Tijdens een jaar blijkt dat er netto 35% van de vissen in het meer verdwijnt, waarin is meegerekend dat er nieuwe vissen worden geboren, en dat er vissen doodgaan of gevangen worden.
Om te zorgen dat de visstand toch op peil blijft zet men daarom aan het begin van elk seizoen 450 nieuwe vissen uit.

In het jaar 200  bevinden zich, direct na het uitzetten van de nieuwe vissen, in totaal  2100  vissen in het meer.
         
  a. Geef een recursievergelijking die de hoeveelheid vissen in het meer elk seizoen, direct na het uitzetten van de nieuwe vissen weergeeft.
         
  De visstand komt in gevaar zodra het aantal vissen in het begin van een jaar onder de 1300 zakt.
         
  b. Bereken wanneer dat volgens deze voorwaarden zal gaan gebeuren.
         
  Voor de hengelsport zou het het mooist zijn als er elk jaar aan het begin (na uitzetten) minstens 2000 vissen in het meer zouden zitten.
         
  c. Bereken welk aantal men minimaal elk jaar zou moeten uitzetten om dat te bereiken.
         
4. Bekijk de volgende rij breuken:   2/3,  8/4,   26/7,   80/16,  242/43, ....

Onderzoek met je GR of deze rij breuken uiteindelijk een constante waarde zal aannemen.
         
5. Onder de bevolking (10000 mensen) van een eiland is een merkwaardige ziekte uitgebroken die zich kenmerkt door de volgende gegevens:
  · Elke week wordt 20% van de gezonde mensen ziek, de rest blijft gezond.
  · Van de zieke mensen geneest in een week 30% en blijft 70% ziek.
         
  Op dit moment zijn van de bevolking 1000 mensen ziek is en 9000 gezond.
Stel recursievergelijkingen op voor de aantallen Gezonde en Zieke mensen en onderzoek of er op den duur een evenwicht zal ontstaan.
         
6. Een bepaald soort kakkerlak wordt maximaal 42jaar oud. In een groot gebouw zijn er op een gegeven moment 300 kakkerlakken van 0-1 jaar, 250 kakkerlakken van 1 - 2 jaar
 
Van de 0-1 jarigen gaat elk jaar 60% dood, en heeft elk exemplaar gemiddeld 2,5 nakomelingen.
Van de 1-2 jarigen gaat elk jaar 50% dood, en heeft elk exemplaar gemiddeld 3,4 nakomelingen.

Bereken de aantallen kakkerlakken over 10 jaar als dit patroon zo blijft.
         
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)