© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Gegeven is de rij getallen  un = √(3 + un - 1)   met  u1 = 400000
       
  a. Bereken  u9 van deze rij getallen in drie decimalen nauwkeurig.
       
  b. Onderzoek wat er zal gebeuren met un als je alsmaar doorgaat.
       
  c. Onderzoek met je GR of het resultaat van vraag b) afhangt van het begingetal u1
       
  Er is een grappige manier om het getal van vraag b) en c) exact te berekenen.
  Click als je het leuk vindt dat te onderzoeken op de verdieping hiernaast.
       
Gegeven is de recursievergelijking 
un = 3,5 • un - 1 • (1 - un - 1)  met  u1 = 0,1
       
  a. Bereken  u25  in vier decimalen nauwkeurig.
       
  b. Onderzoek hoe de rij verloopt.  Je moet ver genoeg in de rij gaan (tot ongeveer nummer 40) om te zien wat er op den duur gebeurt.
       
Bij een antibioticakuur moet een patiënt eerst (op dag 0)  een tablet van 200 mg innemen en daarna om de 24 uur weer een nieuwe tablet van 200 mg. Het lichaam breekt elke 24 uur echter ook 30% van de hoeveelheid medicijn in het bloed af.
       
  a. Geef een recursievergelijking die de hoeveelheid medicijn in het lichaam om de 24 uur weergeeft direct na het innemen van een tablet.
       
  Het medicijn werkt pas goed als er minstens 600 mg in het lichaam aanwezig is.
       
  b. Na hoeveel dagen is dat voor het eerst het geval?
       
  Echter als er meer dan 650 mg aanwezig is, dan heeft dat nadelige bijwerkingen.
       
  c. Onderzoek bij welke tabletgrootte elke 24 uur de grens van 650 mg niet wordt overschreden maar de grens van 600 mg wel wordt gehaald.
       
Bekijk de volgende rij breuken:   2/3,  5/7,   11/15,   23/31,  47/63, ....

Onderzoek met je GR of deze rij breuken uiteindelijk een constante waarde zal aannemen.
       
In de kantine van een groot bedrijf zijn elke dag twee maaltijden te krijgen:  een vegetarische maaltijd en een  vleesmaaltijd.
Een vaste groep van 650 mensen neemt elke dag zo'n maaltijd.
Het blijkt dat van degenen die op een dag vegetarisch eten 85% de volgende dag wéér vegetarisch eet, en dat 15% switcht naar een vleesmaaltijd.
Van de vleeseters op een dag neemt  70% de volgende dag wéér vlees, en 30% gaat over naar vegetarisch.

Als je het aantal vegetarische maaltijden op een dag V(t) noemt, dan hangt dat aantal niet alleen af van het aantal de vorige dag, maar óók van het aantal vleesmaaltijden van de vorige dag. En omgekeerd hangt het aantal vleesmaaltijden N(t) op een dag af van het aantal de vorige dag én van het aantal vegetarische maaltijden de vorige dag. 

Stel recursievergelijkingen op voor de aantallen  V(t) en  N (t) en onderzoek of de aantallen op den duur naar een constante waarde naderen.
       
In een visvijver bevindt zich een populatie karpers.
We onderscheiden twee soorten karpers:  Jongen (0-1 jaar) en Volwassenen (meer dan 1 jaar). Door het vissen en door natuurlijke sterfte verdwijnt elk jaar 60% van de jonge en van de volwassen karpers. De volwassen karpers krijgen wel nakomelingen:  per karper gemiddeld 1,6 nakomelingen in een jaar.
Verder zet de hengelsportvereniging die de vijver beheert elk jaar 150 nieuwe jonge karpers uit.
Stel dat we beginnen met een populatie van 200 volwassen karpers en 200 jonge karpers.

Stel recursievergelijkingen op voor de aantallen jonge (J) en volwassen (V) karpers  en bereken daarmee wanneer het totaal aantal karpers meer dan  1000 zal zijn.
       
MEER OPGAVEN
       
7. De Lucasrij heeft dezelfde recursievergelijking als de rij van Fibonacci, maar hij begint niet met 1 en 1 maar met 1 en 3. 
Bereken het 40ste getal van de Lucasrij.
       
8. Gegeven is de recursievergelijking  un = 0,5un - 1 + 1,2un - 2   met  u0 = 2 en u1 = 3
       
  a. Bereken u30 in twee decimalen nauwkeurig.
       
  b. Je kunt u0 eentje verhogen, maar ook u1.
Onderzoek welk van beide acties de grootste  u10 oplevert.
       
9. Toen er nog geen rekenmachines waren, moesten wiskundigen zo af en toe de wortel uit een getal met pen en papier berekenen. Een goeie methode daarvoor was de volgende;

Stel dat je √n wilt berekenen:
• gok een begingetal B
• bereken n/B
• neem het gemiddelde van dit laatste getal en je vorige getal, en gebruik dat als nieuw begingetal B.

Zo geeft  √57 met de begingok B = 7:
B = 7  ⇒  57/7 = 8,1428...
(8,1428... + 7)/2 = 7,5714....
B = 7,5714...  ⇒  57/7,5714... = 7,5283....
(7,5283... + 7,5714...)/2 = 7,5498...
B = 7,5498...  ⇒  57/7,5498... = 7,549803...
enz.

Bereken de tiende benadering van √57 met je GR.
   
10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2008.

Drogisterijketen Haarsma verkoopt ‘Hagelwit’ tandpasta. Aan het eind van elke maand koopt Haarsma deze tandpasta in bij de groothandel. Haarsma moet daarvoor elke maand een schatting maken van het aantal tubes dat hij de volgende maand zal verkopen. In de bedrijfskunde worden verschillende methoden gebruikt om zo’n schatting te maken. Een van die methoden komt in deze opgave aan de orde. In zeker jaar heeft Haarsma in januari 5200 tubes verkocht en in februari 4000.
Een eenvoudig model om de verkoop voor de komende maanden te schatten is het volgende: neem het gemiddelde van de verkoop in de twee voorafgaande maanden. In een formule:

Vn + 2 = 1/2 • Vn + 1 + 1/2 • Vn,  met  V1 = 5200  en  V2 = 4000

Hierbij is Vn het aantal verkochte tubes tandpasta in maand n, waarbij n = 1 overeenkomt met januari.
Volgens dit model verwacht Haarsma in maart 4600 tubes te verkopen. Als we aannemen dat de schatting steeds de werkelijke verkoop in die maand is, kunnen we met dit model ook de verkoop van de volgende maanden uitrekenen. Dat betekent hier dat er in maart inderdaad 4600 tubes tandpasta verkocht worden. En met de getallen 4000 van februari en 4600 van maart kun je met de formule weer de verkoop van april berekenen, enzovoort.
         
  a. Bereken het aantal tubes tandpasta dat volgens dit model in juni wordt verkocht.
         
 

Soms besluit men de laatste maand zwaarder te laten meetellen dan de voorlaatste maand. Bij de schatting voor de maand maart telt men bijvoorbeeld februari voor 60% mee en januari voor 40%. De formule wordt dan:

Vn+2 = 0,6Vn+1 + 0, 4Vn , met V1 = 5200 en V2 = 4000

Als met dit model een groot aantal maanden wordt doorgerekend, komen de waarden van V steeds dichter bij de evenwichtswaarde 4343 te liggen. Dat betekent dat na een aantal maanden de schattingen minder dan 1% van 4343 zullen afwijken.
         
  b. Bereken in welke maand de schatting voor het eerst minder dan 1% van 4343 afwijkt.
 
11. De LOG-Bank.
Een bank heeft een reclamestunt verzonnen. De rente die je op een rekening krijgt wordt hoger als je geldbedrag op die rekening hoger is.
Er geldt  p = 1,5 • logB
Daarin is p het rentepercentage over een jaar, en B het bedrag aan het begin van dat jaar. Bij het overschrijven van de rente worden alle bedragen afgerond op centen.

Toon aan dat geldt  Bn = (1 + 0,015 • log(Bn - 1)) • Bn - 1
bereken vervolgens na hoeveel tijd iemand die begint met 20000 euro een bedrag van 50000 op zijn rekening zal hebben staan.
       
12. Gegeven is de rij  un + 1 = n ×  un    met u1 = 1.
Bereken  u10 
Waar ken je deze rij getallen van?
       
13.
   
  a. Bewijs dat  un + 3 = un    
         
  b. Bereken u2012    
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)