© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Draaien over 90º.
       
Eigenlijk hebben we draaien over 90º al lang besproken in deze les over normaalvectoren. Een normaalvector ontstond immers uit een andere vector door die over 90º te draaien?

Uit die les komt het plaatje hiernaast waarin je kunt zien dat  de blauwe vector ontstaat door de rode over 90º  te draaien. De beide driehoekjes zijn congruent, want de gele hoek is gelijk aan de paarse (beiden met de groene samen 90º)

Deze les zullen we dat draaien iets nauwkeuriger bekijken door naast het "draaien over 90º" een extra vraag te stellen:

       

welke kant op?
       
Er zijn natuurlijk twee manieren om over 90º te draaien, namelijk:  "met de klok mee"  of  "tegen de klok in". En dat maakt voor de kentallen van de vector die je krijgt wel degelijk uit, zoals je in onderstaande twee plaatjes kunt zien :
       

       
Deze plaatjes leiden tot de volgende conclusie:
       

       
Makkelijk voorbeeld.
 
Vierkant ABCD heeft  A= (2, 3)  en  B = (5, 8)
Geef de coördinaten van de andere hoekpunten.

Oplossing:
Er zijn twee mogelijkheden.

 
Mogelijkheid 1:  je krijgt AC1 door  AB over 90º  tegen de klok in te draaien.
 
Mogelijkheid 1:  je krijgt AC2 door  AB over 90º  met de klok mee te draaien.
       
 
Moeilijk voorbeeld:   De stelling van Van Aubel.
   
Op de zijden van vierhoek ABCD worden vier vierkanten geplaatst.
De middens van die vierkanten zijn  P, Q, R en S.
Toon aan dat PR = QS en PR ⊥ QS.
Zie de figuur.

Bewijs:
Leg vierhoek ABCD in een assenstelsel met A als oorsprong en AB langs de x-as.
Dat geeft de coördinaten  A(0,0),  B(p, 0), C(q, r) en D(s, t)

Noem M het midden van AD, en bereken de kentallen van vector AS:

 
 
 
Je ziet dat die vector MS is gevonden door AM over 90º tegen de klok in te draaien.
Bereken de kentallen van AQ op dezelfde manier (ik heb het midden van CB voor het gemak weer M genoemd)
Dus nu is vector SQ bekend:  
Op dezelfde manier gaan we PR berekenen (midden noem ik steeds M).
 
Vergelijk de vectoren PR en QS met elkaar en je ziet dat de kentallen inderdaad uit elkaar volgen door ze te verwisselen en één van beiden negatief te maken.
Daaruit volgt direct de stelling.
 
       
 
 
  OPGAVEN
       
1.  
       
 

       
  Vanaf de oorsprong word er eerst een lijnstuk OA  met A = (3, 1) getrokken.

Daarna een lijnstuk AB dat loodrecht op OA staat en dubbel  zo lang is. Zie de figuur.

Tenslotte  een lijnstuk BC dat weer loodrecht op AB staat en weer dubbel zo lang is. Zie de figuur.

Bereken de coördinaten van het midden van AC
 

 
2. A = (2t, 0)  en  B = (0, t)
Op zijde AB wordt een vierkant ABCD getekend.
Zie de figuur.

M is het midden van  CD
Op zijde OM wordt een tweede vierkant getekend, waarvan punt P het hoekpunt tegenover de oorsprong is.

Druk de coördinaten van P uit in t
       
3. Gegeven is de functie  f(x) = 16 - x2  met domein  [0, 4]
P en Q zijn de snijpunten van de grafiek van f met de y-as en de x-as
R is een willekeurig ander punt van de grafiek van f
Zie de tekening.
       
 

       
  Er worden nu twee vierkanten in de figuur getekend, eentje met zijde PR en eentje met zijde RQ. 
       
  a. Voor welk punt R hebben deze vierkanten gelijke oppervlakte?
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
   
  b. De x-coördinaat van punt R noemen we r
S is het andere hoekpunt van zijde RS
Druk de coördinaten van S uit in r 
     
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)