© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Formules schakelen.
Deze les gaan we formules met elkaar combineren om nieuwe formules te maken.
Het principe daarbij is heel simpel.
Stel dat we de volgende twee formules hebben:

P = 4A + 8    en     A =  2x - 12

Dan kun je zó redeneren:
Als A  gelijk is aan 2x - 12  dan mag ik overal waar ik A zie staan ook wel daarvoor in plaats (2x - 12) neerzetten.
Het is immers tóch hetzelfde????
Dus ook in  die eerste formule mag ik die A best vervangen door  (2x - 12)
Dat geeft dan :     P = 4(2x - 12) + 8
P = 8x - 48 + 8
P = 8x - 40

En kijk:  daar hebben we zomaar ineens een nieuwe formule tussen P en x.
Dat principe om een letter te vervangen door een hele formule waar hij gelijk aan is heet substitutie

Eerst Vrijmaken.

Soms moet je eerst wat moeite doen om zo'n substitutie te kunnen uitvoeren.
Neem de volgende twee formules:

P = 4A + 8  en   6A - 12x = 9

Wil je nu weer een formule met P en x maken, dan zul je eerst van die tweede formule moeten maken A = ......
Dat heet  A vrijmaken, en dat gaat gaat zó (met de balansmethode):
6A - 12x = 9
6A =  9 + 12x
A = 1,5 + 2x 

En nu kunnen we de substitutie weer uitvoeren:
P = 4(1,5 + 2x) + 8
P = 6 + 8x + 8
P = 14 + 8x

 
Letters verminderen.

Twee meisjes,  Joke en  Carla doen mee aan een sponsorloop. Joke krijgt  €0,40 per gelopen rondje en Carla krijgt €0,60 per gelopen rondje.
Samen halen de meisjes  €23,60  op.
Als je het aantal rondjes van Joke J noemt en het aantal rondjes van Carla C , dan kun je vast wel de volgende formule opstellen:

0,4J  + 0,6C = 23,6

|Maar ja, op zich kun je daar verder nog niks mee.
Er zijn allerlei combinaties van J en C waarvoor dit zou kunnen kloppen.
Eén formule met twee variabelen, daar kun je niks mee.

Maar zodra je een extra formule  met beide letters weet, dan kun je substitutie gebruiken om een letter minder te krijgen.
Stel bijvoorbeeld dat je weet dat de meisjes samen 46 rondjes hebben gelopen.
Dan geeft dat de extra formule  J + C = 46
Daarvan kun je maken  J = 46 - C
En dus kun je overal J vervangen door 46 - C

0,4J  + 0,6C = 23,6
0,4(46 - C) + 0,6C = 23,6
18,4 - 0,4C + 0,6C = 23,6  
0,2C = 5,2
C = 26  en dan is J = 46 - C = 46 - 26 = 20
Dus Carla heeft 26 rondjes gelopen en Joke 20.

       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Gegeven zijn de formules  D =  2a2 + 8a   en   a = G - 3

Maak daarvan een formule van de vorm  D = ....G2 + .....G + ........  waarbij op de stippeltjes constante getallen staan.
       
2. Gegeven zijn de formules:     6P - 3Q = 18  en  2P - 4R = 12

 Maak daarvan een formule  Q = ........    met daarin op de stippeltjes alleen de letter R plus constante getallen.
       
3. Iemand wil drie stukken land omheinen zoals hiernaast getekend.
De totale lengte van de omheining is 500 meter.
Het land heeft afmetingen L bij x.

De totale oppervlakte is dan gelijk aan  O = L • x
Als de breedte gelijk is aan x dan geldt   2L + 4x = 500

     
  a. Leg uit waarom dat zo is.
     
  Voor de oppervlakte geldt dan O = 250x - 2x2
       
  b. Leg uit waarom dat zo is.
       
  c, Onderzoek met je GR wat de maximaal te omheinen oppervlakte is.
       
4. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2018-I.

Mensen krijgen energie binnen via voedsel. De hoeveelheid energie in voedsel wordt uitgedrukt in kilocalorieën (kcal). De minimale hoeveelheid energie die iemand per dag nodig heeft om op gewicht te blijven, wordt aangeduid met de Engelse afkorting BMR (Basal Metabolic Rate).
Diëtisten maken gebruik van formules om deze hoeveelheid te berekenen.
Een formule van de BMR voor mannen luidt:

BMR = 10 • G - 5 • J + 6,25 • L + 5

In deze formule is G het gewicht in kg, J de leeftijd in jaren, L de lengte in cm en BMR in kcal.

Luuk is 1,88 meter lang en weegt 77 kg. Hij is 25 jaar oud.
       
  a. Bereken zijn BMR.  
       
  Voor 30-jarige mannen met een BMR van 2000 kcal kun je het gewicht uitdrukken in de lengte.
Er geldt dan G = a • L + b , waarbij a en b getallen zijn.
       
  b. Bereken de waarden van a en b in één decimaal nauwkeurig.
       
  In de Verenigde Staten hanteert men soortgelijke formules maar met andere variabelen. Men gebruikt voor het gewicht de variabele W (weight) in pounds, voor de lengte de variabele H (height) in feet en voor de leeftijd in jaren de variabele Y (years). Er geldt:
       
    W = 2,2 • G
Y = J
H = 0,033 • L		  
       
 

Met deze gegevens kun je de formule van BMR opstellen zoals die in de Verenigde Staten gebruikt wordt in de vorm

BMR = ...• W  - 5 • Y + ...• H + 5

Hierbij staan op de puntjes getallen.
       
  c. Bereken welke getallen op de puntjes moeten staan en rond af op één decimaal.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)