© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Scheve Asymptoten (1).
Bekijk de grafiek van de functie  f(x) = 2x + 4/x + 3 hiernaast.
Zoals (hopelijk) verwacht heeft de grafiek een verticale asymptoot bij x = 0. Maar als je goed naar de grafiek kijkt is er ook een scheve rechte lijn waar de grafiek langs gaat lopen (de rode stippellijn). Jawel:  deze grafiek heeft een scheve asymptoot!

De vraag is: kunnen we dat aan het functievoorschrift al zien, en kunnen we misschien ook een vergelijking van deze scheve asymptoot opstellen?

De oplossing van beide vragen ligt hem in het feit, dat het gedeelte 4/x voor grote x-waarden heel snel erg klein wordt.
 
Van de vergelijking  y = 2x + 4/x + 3 blijft voor hele grote x-waarden eigenlijk alleen nog maar het deel y = 2x + 3 over. De 4/x is te verwaarlozen. Dat betekent dat de grafiek van deze functie er voor grote x-waarden uit zal zien als de grafiek van y = 2x + 3 en voilá; dat is dus de vergelijking van die rode stippellijn!
Maar helaas is het wiskundeleven niet altijd zo eenvoudig!
Soms moet je eerst wat voorbereidend werk doen voordat je ziet welk deel er naar nul gaat.
   
Voorbeeld 1.

En aan deze laatste vorm kun je zien dat 3/2x te verwaarlozen wordt voor grote x dus de scheve asymptoot zal de lijn y = 4x - 3 zijn.
Staartdeling.
 
Vaak kan een staartdeling je helpen om een functievoorschrift tot een handige vorm te herleiden.
Over staartdelingen klun je in deze les meer te weten komen.
 
Voorbeeld 2.

Maak een staartdeling:

 
Dat deel  2/(x + 2)  gaat naar nul als x naar oneindig gaat, dus de scheve asymptoot is de lijn  y = 4x - 3
 
 
 
 
OPGAVEN
 
1. Geef vergelijkingen van de scheve asymptoten van de grafieken van de volgende functies:
         
  a. f(x) = 8 + 2/x - 3x e. f(x) =  1 + 7x + 4-x
         
  b. y = 4 - 3/(x - 1)  + 7x f. f(x) =  1 + 2 • 6x - 3x
         
  c y = x - x/2x2 + 5 g.
         
  d. f(x) = 2 + 20/(x + 4) + 5/(x -  4) + x  h.
         
2. Geef vergelijkingen van de scheve asymptoten van de grafieken van de volgende functies:
a.
             
b.  
             
c.  
         
3. Geef vergelijkingen van de scheve asymptoten van de grafieken van de volgende functies:
         
  a.
         
  b.
         
  c.
4. Gegeven is de familie van functies:

a. Voor welke twee waarden van  p is de grafiek een rechte lijn?
     
b. Geef de vergelijking van de scheve asymptoot van f5 .
     
  c. Voor welke p is de lijn  y = x + 9 scheve asymptoot van de grafiek van fp ?
     
     
5. Voor p > 0 wordt de functie fp gegeven door:
     
 

     
  In de figuur is de grafiek van  f10 weergegeven.
     
 

     
  De grafiek van f10 heeft een scheve asymptoot.
Bewijs dat de grafiek van f10 boven deze scheve asymptoot ligt.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)