Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Somrijen in de GR.

In de vorige les zagen we het voorbeeld van de rondetijden van Sven Kramer die opgeteld een eindtijd over de 10 km opleverden.

Laten we deze les een beetje meer wiskundige schaatser bekijken (sorry Sven).

Stel bijvoorbeeld dat een schaatser begint met een rondje van 33 seconden en daarna een oplopend schema heeft: elk volgend rondje is 0,2 seconden langzamer dan de vorige.
Dat levert dus de rondetijden: 33,0 - 33,2 - 33,4 - 33,6 enz op.
Kijk daar kunnen we wat mee. Wij wiskundigen herkennen daarin uiteraard direct een rekenkundige rij.

Die kunnen wij natuurlijk makkelijk in onze rekenmachine invoeren:

nMin = 1
u(n) = u(n - 1) + 0,2
u(1) = 33,0

Maar de vraag is dan natuurlijk:

Hoe bepaal je de som van die termen?

Nou dat kan door een tweede rij v_n te maken die steeds de termen van u_n optelt. Dat gaat met de volgende recursievergelijking:

v_n = v_n_{- 1} + u_nmet v₀ = 0

Immers op deze manier tel je steeds de laatste u_n op bij alle vorigen (die staan in v_n_{- 1}). De som van de eerste n - 1 termen staat nu in v_n. Als je kiest nMin = 0 dan staat de som van de eerste n termen in v_n

In de tabel zie je vervolgens dat dat een eindtijd van v₂₅ = 923 seconden (15:33,00) oplevert voor de schaatser.

Voorbeeld: Bereken 1² + 2² + 3² + ... + 100²

Oplossing:
nMin = 1
u(n) = n²
u(1) = 1
v(n) = v(n - 1) + u(n)
v(1) = 1

De tabel levert nu v(100) = 338350

OPGAVEN

Bereken de som van de eerste 20 termen van de volgende rijen:

u_n = 0,8u_n_-1 + 5 met u₁ = 25

u_n = n + 0,5(u_n_{- 1})² met u₁ = 3

Uit een tuinzwembadje verdampt elke dag 1% van het water dat er in zit.
De eigenaar vult aan het begin van elke dag de waterhoeveelheid aan met 25 liter.
Op dag nr. 0 is (na aanvullen) precies 3000 liter aanwezig.

Na hoeveel dagen is er in totaal 500 liter verdampt?

Bereken Ö1 + Ö2 + + Ö3 + Ö4 + ... + Ö100 in zes decimalen nauwkeurig.

Een goede vriend van mij heeft €10.000,- van me geleend.
We hebben afgesproken dat hij mij elke maand een bedrag zal terugbetalen. De eerste maand is dat €100, en elke volgende maand is dat 20 euro meer dan de vorige.

Geef een directe formule en een recursieve formule voor het bedrag dat hij mij in maand n terugbetaalt.

Hoeveel heeft hij na 12 maanden in totaal terugbetaald?

Hoe lang zal het duren voordat zijn gehele schuld is terugbetaald?

Een heimachine slaat een betonnen paal de grond in. Bij de eerste klap gaat de paal 180 cm de grond in. Bij elke volgende klap gaat de paal 20% minder de grond in dan bij de vorige.
Hoe ver kan de heimachine een paal maximaal de grond in slaan?