Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Bereken de som van de eerste 20 termen van de volgende rijen:

u_n = 0,9u_n_-1 + 2 met u₁ = 10

u_n = 2n + 0,5√(u_n_-1) met u₁ = 3

Iemand opent op 1 januari een bankrekening en stort daar €200,- op. De bank geeft hem 4% rente per jaar, en die rente wordt op 31 december bijgeschreven. Elk jaar op 1 januari stort de man wéér €200,- op de rekening.
Na hoeveel jaar heeft hij in totaal €2723,60 rente gekregen?

Bereken 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ... + ¹/₁₀₀ in zes decimalen nauwkeurig.

Iemand begint een baantje als leerling meubelmaker. In het begin maakt hij alleen maar stoelen.
De eerste dag zet hij 8 stoelen in elkaar, maar daarna krijgt hij steeds meer ervaring. Elke volgende dag zet hij 3 stoelen méér in elkaar dan de vorige.
Noem het aantal stoelen dat hij de n^de dag in elkaar zet s_n

Geef een recursievergelijking en een directe vergelijking voor s_n

Hoeveel stoelen heeft hij in totaal in elkaar gezet na 50 dagen?

Hoe lang zal het duren voordat hij in totaal 10000 stoelen in elkaar heeft gezet?

Iemand laat een bal vallen vanaf 80 cm hoogte. De bal stuitert en komt elke volgende keer tot 85% van de vorige hoogte. Hoeveel cm heeft de bal afgelegd als hij is uitgestuiterd?

MEER OPGAVEN

olympiadevraagstuk
In een vierkant met zijden √2 beginnen we in een hoekpunt met punt a₁ en we tekenen daarna steeds een volgend punt op een diagonaal zodat de afstand tot het middelpunt M gehalveerd wordt.

Wat wordt de lengte van de "spiraal" die we zo krijgen als we oneindig lang doorgaan? Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

Een roddel verspreid zich in het begin heel snel, en daarna steeds langzamer. Dat komt natuurlijk omdat steeds meer mensen er al van op de hoogte zijn, en dus komen er steeds minder nieuwen bij.
De volgende vergelijking blijkt te gelden voor het aantal mensen A_n dat de n^de dag de roddel voor het eerst hoort:

A_n = ^{(200n + 1000)}/_{(n²
+ 100)}

Neem aan dat de eerste dag 50 mensen de roddel, kennen.
We nemen voor deze opgave voor het gemak aan dat het aantal mensen geen geheel getal hoeft te zijn.

Hoeveel mensen zijn na 18 dagen op de hoogte van de roddel?

Ik teken op papier een aantal trapjes (zie figuur onder). eerst één met onderkant 1, dan één met onderkant 2, dan met onderkant 3, enzovoorts.
De omtrek van trapje nummer n noem ik u_n, de oppervlakte van trapje n noem ik v_n.

Ik ben van plan 100 trapjes te gaan tekenen maar bij nummer 80 merk ik dat mijn pen leeg begint te raken. Hoeveel procent van de totale lengte van alle lijntjes die ik moet tekenen voor 100 trapjes heb ik na 80 trapjes al getekend?

Bereken de oppervlakte van het honderdste trapje.

Bereken de oppervlakte van de eerste honderd trapjes samen.

Ik teken op papier een aantal stervormige figuurtjes die allemaal alle zijden 1 cm hebben. In onderstaande figuur zijn de eerste 4 getekend. .

Als je kijkt naar de omtrek en de oppervlakte van figuur nr. n dan geeft dat de volgende tabel:

figuur nr. (n)	1	2	3	4
omtrek (u)	4	12	20	28
oppervlakte (v)	1	5	13	25

De omtrekken (u) van deze figuren vormen een rekenkundige rij.

Die rij heeft de recursievergelijking u(n) = u(n - 1) + 8 met u(1) = 4

Geef een directe vergelijking van u(n).

Bereken de totale omtrek van de eerste 50 figuurtjes.

De oppervlaktes (v) vormen geen meetkundige of rekenkundige rij, maar de verschillen van die rij zijn wel regelmatig.
Voor de oppervlaktes geldt de recursievergelijking v(n) = v(n - 1) + 4n - 4

Leg duidelijk uit hoe deze vergelijking is af te leiden uit de verschillen van de oppervlaktes.

In het begin neemt u(n) sneller toe dan v(n) maar vanaf n = 3 is dat al andersom: v(n) wordt veel sneller groter
dan u(n)

Bepaal voor welke n de waarde van v(n) voor het eerst meer dan tien keer zo groot is geworden als de waarde van u(n).