Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Bereken de som van de eerste 20 termen van de volgende rijen:

u_n = 0,9u_n_-1 + 2 met u₁ = 10

u_n = 2n + 0,5√(u_n_-1) met u₁ = 3

Iemand opent op 1 januari een bankrekening en stort daar €200,- op. De bank geeft hem 4% rente per jaar, en die rente wordt op 31 december bijgeschreven. Elk jaar op 1 januari stort de man wéér €200,- op de rekening.
Na hoeveel jaar heeft hij in totaal €2723,60 rente gekregen?

Bereken 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ... + ¹/₁₀₀ in zes decimalen nauwkeurig.

Iemand begint een baantje als leerling meubelmaker. In het begin maakt hij alleen maar stoelen.
De eerste dag zet hij 8 stoelen in elkaar, maar daarna krijgt hij steeds meer ervaring. Elke volgende dag zet hij 3 stoelen méér in elkaar dan de vorige.
Noem het aantal stoelen dat hij de n^de dag in elkaar zet s_n

Geef een recursievergelijking en een directe vergelijking voor s_n

Hoeveel stoelen heeft hij in totaal in elkaar gezet na 50 dagen?

Hoe lang zal het duren voordat hij in totaal 10000 stoelen in elkaar heeft gezet?

Iemand laat een bal vallen vanaf 80 cm hoogte. De bal stuitert en komt elke volgende keer tot 85% van de vorige hoogte. Hoeveel cm heeft de bal afgelegd als hij is uitgestuiterd?

MEER OPGAVEN

olympiadevraagstuk
In een vierkant met zijden √2 beginnen we in een hoekpunt met punt a₁ en we tekenen daarna steeds een volgend punt op een diagonaal zodat de afstand tot het middelpunt M gehalveerd wordt.

Wat wordt de lengte van de "spiraal" die we zo krijgen als we oneindig lang doorgaan? Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

Een roddel verspreid zich in het begin heel snel, en daarna steeds langzamer. Dat komt natuurlijk omdat steeds meer mensen er al van op de hoogte zijn, en dus komen er steeds minder nieuwen bij.
De volgende vergelijking blijkt te gelden voor het aantal mensen A_n dat de n^de dag de roddel voor het eerst hoort:

A_n = ^{(200n + 1000)}/_{(n²
+ 100)}

Neem aan dat de eerste dag 50 mensen de roddel, kennen.
We nemen voor deze opgave voor het gemak aan dat het aantal mensen geen geheel getal hoeft te zijn.

Hoeveel mensen zijn na 18 dagen op de hoogte van de roddel?

Ik teken op papier een aantal trapjes (zie figuur onder). eerst één met onderkant 1, dan één met onderkant 2, dan met onderkant 3, enzovoorts.
De omtrek van trapje nummer n noem ik u_n, de oppervlakte van trapje n noem ik v_n.

Ik ben van plan 100 trapjes te gaan tekenen maar bij nummer 80 merk ik dat mijn pen leeg begint te raken. Hoeveel procent van de totale lengte van alle lijntjes die ik moet tekenen voor 100 trapjes heb ik na 80 trapjes al getekend?

Bereken de oppervlakte van het honderdste trapje.

Bereken de oppervlakte van de eerste honderd trapjes samen.

Ik teken op papier een aantal stervormige figuurtjes die allemaal alle zijden 1 cm hebben. In onderstaande figuur zijn de eerste 4 getekend. .

Als je kijkt naar de omtrek en de oppervlakte van figuur nr. n dan geeft dat de volgende tabel:

figuur nr. (n)	1	2	3	4
omtrek (u)	4	12	20	28
oppervlakte (v)	1	5	13	25

De omtrekken (u) van deze figuren vormen een rekenkundige rij.

Die rij heeft de recursievergelijking u(n) = u(n - 1) + 8 met u(1) = 4

Geef een directe vergelijking van u(n).

Bereken de totale omtrek van de eerste 50 figuurtjes.

De oppervlaktes (v) vormen geen meetkundige of rekenkundige rij, maar de verschillen van die rij zijn wel regelmatig.
Voor de oppervlaktes geldt de recursievergelijking
v(n) = v(n - 1) + 4n - 4

Leg duidelijk uit hoe deze vergelijking is af te leiden uit de verschillen van de oppervlaktes.

In het begin neemt u(n) sneller toe dan v(n) maar vanaf n = 3 is dat al andersom: v(n) wordt veel sneller groter
dan u(n)

Bepaal voor welke n de waarde van v(n) voor het eerst meer dan tien keer zo groot is geworden als de waarde van u(n).

10.

Een kunstenaar gaat een geluidswal langs een snelweg versieren. Dat doet hij door er afwisselend zwarte en rode verticale strepen op te schilderen. De eerste streep (n = 1) is 5 cm breed, en elke volgende streep is 3 cm breder dan de vorige. Dat geeft zo'n soort effect:

Hij begint met een zwarte streep. De hele schutting is 49 meter breed

Geef een directe formule voor de breedte van streep nummer n

Onderzoek hoeveel strepen de kunstenaar kan verven.

Wat is de totale breedte van alle zwarte strepen die hij heeft geverfd?

11.

Een kunstenaar ontwerpt een trap die bestaat uit allemaal rechthoekige blokken waarvan de breedte en de hoogte steeds groter worden:

Het eerste blok is 4 bij 1, het tweede is 7 bij 3, het derde is 10 bij 5 enz.
De trap wordt dus als je naar rechts loopt steeds twee hoger, maar de trede wordt steeds drie langer. De kunstenaar probeert ermee uit te drukken dat, hoe hoger je bent, hoe moeilijker het is om nog hogerop te komen.

Ook de oppervlaktes van de treden vormen een rij, maar dat is geen rekenkundige of meetkundige rij, kijk maar:

O = 4 - 21 - 50 - 91 - …..

Voor de oppervlakte O van blok n geldt: O(n) = 6n² - n - 1

Stel directe formules op voor de hoogte en de breedte van blok nr. n en toon daarmee deze formule voor de oppervlakte aan.

Na hoeveel blokken is de totale oppervlakte van de hele trap meer dan 20000 geworden?

Als je naar de verschillen van de oppervlaktes van de opeenvolgende blokken kijkt, dan is daar wel regelmaat in te zien.

Gebruik die regelmaat om een recursieformule voor O(n) op te stellen.

Een klein meisje speelt een spelletje op deze trap. Ze staat op de eerste trede en gooit met een dobbelsteen. Als ze een 1 of 2 gooit gaat ze een trede omlaag, als ze 3,4,5,of 6 gooit gaat ze een trede omhoog. Dat blijft ze zo herhalen zolang ze op de trap blijft.
Zodra ze van de trap af gaat (naar trede 0) is het spelletje afgelopen (dus als ze de eerste keer 1 of 2 gooit is het al direct afgelopen).

Hoe groot is de kans dat het meisje na 3 keer gooien op trede 2 staat?

12.

Men vormt een spiraal door allemaal halve cirkels tegen elkaar aan te leggen. De afstand tussen twee cirkels is steeds 1. Zie de figuur hiernaast.

Wat is de lengte van de spiraal als men 100 zulke halve cirkels tekent?

13.

We maken een figuur die uit oneindig veel gelijkzijdige driehoeken bestaat. We beginnen met een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 cm. Rechtsboven plakken we er een gelijkzijdige driehoek aan met zijde 2,7 cm. Zo plakken we er steeds rechtsboven een gelijkzijdige driehoek aan, de ene keer met de top naar beneden, de andere keer met de top naar boven. De zijden van de nieuw te plakken driehoek zijn 0,9 keer zo groot als de zijden van de vorige driehoek die werd geplakt.
In onderstaande figuur zie je de figuur in opbouw: na zeven keer plakken. Na elke keer plakken komt de figuur dichter bij de finishlijn.
We plakken oneindig vaak.

Onderzoek met behulp van een berekening of de figuur op den duur de finishlijn overschrijdt.

14.

Een groepje amateurbiologen gaat in hun vakantie een groot stuk regenwoud onderzoeken. Elke dag gaan ze tellen hoeveel verschillende soorten insecten ze kunnen vinden. Ze tellen daarbij alleen de nieuwe soorten voor dit gebied; dus niet soorten die ze een eerdere dag ook al hebben gevonden.

Het blijkt dat het aantal nieuwe soorten dat ze vinden elke dag nog maar 80% is van de dag ervoor. Op dag nummer 1 vonden ze maar liefst 480 nieuwe soorten.

Geef een directe vergelijking en een recursievergelijking voor het aantal nieuwe soorten (A_n) dat op dag n wordt gevonden.

Doordat ze steeds ervarener worden in het afzoeken van een bepaald gebied kunnen ze elke dag een grotere oppervlakte afspeuren. De eerste dag kunnen ze 120 m² afspeuren, maar elke volgende dag wordt die oppervlakte 20 m²méér.

Bereken hoeveel oppervlakte ze in totaal in 30 dagen zullen hebben onderzocht.