© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Som-en Verschilformules voor sinus en cosinus.

Bekijk de figuur hierboven.
Eerst zijn twee willekeurige hoeken α en β getekend op een lijnstuk AB.
Daarna wordt op de bovenste lijn een lengte AC = 1 afgemeten, en er wordt een loodlijn CD op AD getekend.
Dat geeft samen de derde figuur.
In de laatste figuur is de loodlijn CF op AB getekend.

Nu geldt:  sin (α + β) = CF/1 = CF = DB + ED = sinα • AD  + cosα • CD = sinαcosβ + cosαsinβ
YES! we hebben een formule gevonden:

  sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
Maar als α en β willekeurig zijn, dan mag je ze ook wel door iets anders vervangen.
Eigenlijk staat er: 

Daarbij mogen dat driehoekje en dat blokje dus alles zijn.
Laten we daar wat mee experimenteren.
Neem bijvoorbeeld   Δ = α en  ■ = -β, dan staat er:
sin(α - β) = sinαcos(-β) + cosαsin(-β)
maar omdat we al eerder vonden  (met die eenheidscirkel weet je nog?)  dat  cos(-β) = cosβ  en  sin(-β) = -sinβ geeft dat:  sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ. Yes! alweer een formule. Dat zijn er al twee.
Zelf doen....
 
1. Neem nu  Δ = 1/2π - α  en   ■ = -β
a. Toon aan dat de eerste formule dan verandert in  cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
b. Vervang in deze laatste formule weer β door (-β) en maak een formule voor cos(α - β)
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
   
 
   
OPGAVEN
1. Toon aan dat  sin2(α - 1/4π) = 1/2 - sinαcosα
2. Toon aan dat  sin(α + 1/3π) + sin(α - 1/3π) = sinα
   
3. Toon aan dat  sin2(1/4π - 1/2x) = 1/2 + cosx · sinx
4. a. 7/12 kun je schrijven als 3/12  + 4/12
Gebruik dat gegeven om aan te tonen dat  cos(7/12π) =  1/4√2 - 1/4√6
     
  b. Als je je beseft dat 1/12 = 4/12 - 3/12 dan kun je sin1/12π berekenen. Doe dat.
     
c. Vergelijk je antwoord op vraag b) met dat op vraag a) en geef een verklaring
     
Toegift:  Hulpje bij het Primitiveren.
   
Door deze som- en verschilformules handig te gebruiken kun je een aantal primitieven vinden.
Als je bijvoorbeeld die van sin(α + β) en sin(α - β) bij elkaar optelt dan krijg je:
sin(α + β) + sin(α - β) =  2sinαcosβ en daaruit volgt   sinαcosβ = 1/2(sin(α + β) + sin(α - β))
Dat geeft een mogelijkheid om sinαcosβ te primitiveren:
 
Voorbeeld.  Primitiveer de functie f(x) = sin2x• cos5x 
Met bovenstaande regel is   sin2x• cos5x = 1/2(sin7x + sin(-3x)) = 1/2(sin7x - sin3x)
De primitieve is dan F(x) = -1/14cos7x  + 1/6cos3x + c
   
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)