stochasten optellen

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
"Dingen" combineren.

De vorige les zagen we al wat je moet doen als je verschillende dingen bij elkaar optelt. Deze les gaan we nog een paar andere varianten bekijken om dingen met elkaar te combineren.

Dingen van elkaar aftrekken.

Als je dingen van elkaar aftrekt in plaats van bij elkaar optelt gelden de bovenstaande regels nog precies hetzelfde!
Voor het gemiddelde van het verschil V geldt uiteraard μ_V = μ₁ - μ₂.
Maar voor de standaarddeviatie van het verschil moet je de afzonderlijke standaarddeviaties optellen volgens de regel
σ² = σ₁² + σ₂² + ... ook al is het een verschil! Dat zit hem erin dat de σ een afwijking is vanaf het midden, beide kanten op! Die σ kent eigenlijk geen teken. Die geldt beide kanten op. Dus:

Voor het verschil V van twee normaal-verdeelde grootheden geldt:

μ_Vσ_V²

= μ₁ - μ₂= σ₁² + σ₂²

Maar wacht! Nou klopt er iets niet!

Een menu met toetje + hoofdgerecht + voorgerecht kost bij mijn Chinees restaurant namelijk gemiddeld €24,- met een standaardafwijking van €3,50
De toetjes kosten gemiddeld €4,- met een standaardafwijking van €0,50 en de voorgerechten kosten gemiddeld €5,- met een standaardafwijking van €1,50.

Je kunt nu zó redeneren;
Hoofdgerecht = Menu - Toetje - Voorgerecht
Dus σ²_hoofdgerecht = σ²_menu + σ²_toetje + σ²_voorgerecht = 3,5² + 0,5² + 1,5² = 14,75 dus σ_hoofdgerecht = 3,84

Maar als je denkt te weten dat σ_hoofdgerecht = 3,84 kun je ook zó redeneren:
Menu = Toetje + Hoofdgerecht + Voorgerecht
σ²_menu = σ²_toetje + σ²_hoofdgerecht + σ²_voorgerecht = 0,5² + 3,84² + 1,5² = 17,24 dus σ_menu = 4,15

Huh? Het was toch 3,5?? Wat klopt hier niet aan.........?

Dat zit hem in het feit dat die kwadraatregel voor de standaarddeviaties er vanuit gaat dat bij het optellen van verschillende dingen de afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde elkaar af en toe zullen versterken, maar ook af en toe zullen verminderen. De nieuwe standaardafwijking is niet gewoon die twee ouden bij elkaar opgeteld, maar minder groot.
σ₁ = 2 en σ₂ = 3 geeft opgeteld σ_som= √(2² + 3²) = √13 = 3,6 en dat is minder dan 2 + 3 = 5.
Maar als die afwijkingen elkaar af en toe toevallig ook zullen verminderen dan geldt dat alleen maar als die afwijkingen onafhankelijk van elkaar zijn.
En dat was in het voorbeeld hierboven duidelijk niet zo. De prijs van het menu hangt natuurlijk nogal af van de prijs van bijv. het toetje!
Conclusie:

Je mag de regels voor combineren van de standaardafwijkingen
alleen gebruiken als de dingen onafhankelijk van elkaar zijn!

Het gemiddelde nemen.

We hebben hiervoor gezien hoe de van de SOM van normaal verdeelde dingen het gemiddelde en de standaarddeviatie kunt uitrekenen. Maar in plaats van de SOM te nemen kun je ook het GEMIDDELDE van een aantal normaal verdeelde dingen berekenen.

Dat lijkt misschien wat raar.... Voorbeeldje dan maar?

Stel dat een natuurkundige graag de lading van het elektron wil bepalen. Dan kan hij dat doen met de zogenaamde proef van Millikan. Maar die proef is niet oneindig nauwkeurig. Door meetfouten en toevallige fluctuaties in zijn apparatuur zal hij niet elke keer exact dezelfde waarde vinden. De waarden die hij vindt zullen normaal verdeeld zijn met een bepaald gemiddelde μ en een bepaalde standaarddeviatie σ. Die standaarddeviatie geeft eigenlijk aan hoeveel de gevonden meetwaarden verschillen.
Maar de natuurkundige kan de proef ook 10 keer verrichten en dan van die 10 metingen het gemiddelde m_G nemen. Dat geeft een getal dat betrouwbaarder is dan een enkele meting. Waar blijkt dat uit? Nou, als hij een aantal series van 10 metingen zou doen en elke keer het gemiddelde μ_Gzou uitrekenen, dan krijgt hij een rij getallen waar minder variatie in zit dan in een rij meetwaarden van één meting.

De standaarddeviatie σ_G van het gemiddelde zegt dus eigenlijk iets over de nauwkeurigheid en betrouwbaarheid van het gemiddelde. Alhoewel het gemiddelde μ_G natuurlijk maar één getal is, kun je het daarom tóch hebben over de spreiding daarin.

De berekening van μ_G en σ_G is gelukkig erg makkelijk. Bij het berekenen van gemiddelden neem je eigenlijk altijd het gemiddelde van dezelfde meetwaarden, dus metingen met dezelfde normale verdeling.
Stel dat we n zulke metingen doen met een gemiddelde μ en een standaarddeviatie σ. Dan hebben we al regels voor het uitrekenen van de som μ_S en σ_S: μ_S = μ • n en σ_S = σ • √n
Nou, om het gemiddelde te berekenen moet je die som delen door het aantal metingen n. Dat betekent dat μ_S en σ_S ook door n gedeeld worden, en dat geeft het volgende resultaat:

Als je van n dezelfde dingen het gemiddelde berekent, dan geldt:

μ_G = μ
σ_G = ^σ/_√n

OPGAVEN

Het IQ (Intelligentiequotiënt) van de meisjes van een middelbare school is normaal verdeeld met een gemiddelde van 102 en een standaardafwijking van 12.
Het IQ van de jongens van die school is ook normaal verdeeld met een gemiddelde van 98 en een standaardafwijking van 10.

Als een willekeurig meisje en een willekeurige jongen van deze school elkaar in de gang tegenkomen, hoe groot is dan de kans dat het IQ van de jongen hoger is dan het IQ van het meisje?

Vier collectanten lopen op een middag in een wijk in Arnhem te collecteren voor de Nederlandse Hartstichting.
Dat doen ze veel vaker, maar ze zijn niet allemaal even goed in collecteren.
Het geld dat ze normaal gesproken in een uur binnenkrijgen is voor allen normaal verdeeld, en daarvoor gelden de volgende gemiddelden en standaardafwijkingen (alles in euro's):

collectant	A	B	C	D
gemiddelde	45,-	49,-	32,-	52,-
standaardafwijking	6,-	7,-	5,-	6,-

Bereken de kans dat collectant B in een uur meer dan 52,- euro binnenkrijgt.

Bereken de kans dat ze na een uur met zijn vieren samen meer dan 190,- hebben binnengekregen

Bereken de kans dat in een uur collectant A meer binnenkrijgt dan collectant B.

Pringels zijn chips die altijd netjes op elkaar in een bus worden opgestapeld.
Door het productieproces zijn de diktes van één Pringles-chip is niet steeds gelijk, maar die diktes zijn normaal verdeeld met een gemiddelde van 3,1 mm en een standaardafwijking van 0,2 mm.
De binnenhoogte van de bussen met deksel is ook normaal verdeeld met een gemiddelde van 27,3 cm en een standaarddeviatie van 0,6 cm.

Bereken de kans dat er een stapel van 90 pringels in zo'n bus past.

4.	Libelle is een Nederlandstalig vrouwentijdschrift dat wekelijks ongeveer 125 bladzijden heeft Libelle biedt informatie op huishoudelijk, psychologisch en maatschappelijk vlak, evenals persoonlijke verhalen, reportages en interviews Het aantal bladzijden van een aflevering van de Libelleis is niet altijd precies 125, maar is normaal verdeeld met een gemiddelde van 125 en een standaardafwijking van 13 bladzijden. Als ik een stapel van 30 Libelles bekijk hoe groot is dan de kans dat het gemiddelde aantal bladzijden van die stapel minder dan 120 zal zijn?

5.	Een verpleegkundige meet bij een patiënt de bloeddruk. Hij weet dat de door hem gebruikte bloeddrukmeter voor het meten van de onderdruk een standaardafwijking van 3 mm Hg geeft. Hoe vaak moet de verpleegkundige de bloeddruk meten zodat de standaardafwijking van het uiteindelijke gemiddelde van al die metingen minder dan 1 mm Hg is?

6.	Een grote hoeveelheid pepernoten heeft een gewicht dat normaal verdeeld is met een gemiddelde van 3 gram en een standaardafwijking van 0,2 gram. Zwarte Piet vult uit deze voorraad een heleboel kinderschoentjes, en doet altijd in elke schoentje evenveel pepernoten. Hij beweert dat het gemiddelde gewicht van de pepernoten in zo'n schoentje minstens 45 gram is, en als Sinterklas dat nameet dan blijkt dat bij 92% van de schoentjes inderdaad zo te zijn. Hoeveel pepernoten stopt Zwarte Piet in een kinderschoentje?