stochasten optellen

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
"Dingen" samennemen.

Tot nu toe gingen alle voorbeelden met de normale verdeling steeds over één "ding" dat werd gemeten. In praktijk gaat het bij experimenten echter vaak om een aantal "dingen" die samengenomen worden. Waarvan dus de som wordt gemeten. Een erg belangrijk principe daarbij is:

Als je twee dingen die normaal verdeeld zijn bij elkaar optelt,
dan is het resultaat daarvan wéér normaal verdeeld.

Kortom, als je normaal verdeelde dingen bij elkaar optelt, dan kun je voor de som van die dingen één nieuwe klokvorm maken, en dáármee je berekeningen uitvoeren. Dan moet je natuurlijk wel het gemiddelde en de standaardafwijking van die som-klokvorm weten. Die kun je berekenen met de volgende twee regels:

Als de getallen X₁, X₂, X₃... normaal verdeeld zijn, dan geldt voor hun som X_S:

μ_S
σ_S²

= μ₁ + μ₂ + μ₃ + ...
= σ₁² + σ₂² + σ₃² + ...

Voorbeeld 1.

Het gewicht van kartonnen dozen is normaal verdeeld met gemiddelde 200 gram en standaardafwijking 6 gram. Het gewicht van dekbedden is ook normaal verdeeld met een gemiddelde van 450 gram en een standaardafwijking van 15 gram.
Hoe groot is de kans dat een doos met drie dekbedden erin meer dan 1600 gram weegt?

We tellen hier 4 dingen bij elkaar op: drie dekbedden en een doos. Voor de som van die 4 geldt:
μ_S = 200 + 450 + 450 + 450 = 1550
σ_S² = 6² + 15² + 15² + 15² = 711 dus σ_S = √711 = 26,66
De kans op een gewicht van meer dan 1600 is dan normalcdf(1600, 100000..., 1550, 26.66) = 0,03

Dezelfde dingen optellen.

Als de dingen die je bij elkaar optelt allemaal hetzelfde gemiddelde en dezelfde standaardafwijking hebben, dan kun je bovenstaande regels nog vereenvoudigen.
Kijk maar:

μ_S = μ₁ + μ₂ + μ₃ + ...+ μ_n = μ + μ + μ + ... + μ = n • μ
σ_S² = σ₁² + σ₂² + σ₃² + ... + σ_n² = σ² + σ² + σ² + ... + σ² = n • σ² dus σ_S = √(n • σ²) = √(n) • √(σ²) = σ√n

Vanwege die √n heet dit de √n-wet.
Samengevat:

Als je n dezelfde dingen bij elkaar optelt geldt voor de som:

μ_S = n • μ
σ_S = σ√n

Maar goed, eigenlijk is deze regel niet meer dan een speciaal geval van de regel erboven.

OPGAVEN

1.	Op een survivaltocht moeten de deelnemers op een gegeven moment een rivier oversteken op een vlot. Dat vlot kan een maximale belasting van 300 kg verwerken. Bij een zwaardere belasting zal het zinken. Het gewicht van de volwassen deelnemers aan de survivaltocht is normaal verdeeld met een gemiddelde van 74 kg en een standaardafwijking van 8 kg.

	a.	Bereken de kans dat het vlot zinkt als er 4 volwassen deelnemers op gaan zitten.

	b.	Wanneer zinkt het vlot eerder: als er 4 volwassen deelnemers op plaatsnemen of als er drie volwassen deelnemers op plaatsnemen waarbij één van de drie ook nog precies 70 kg bagage meeneemt? Hoeveel scheelt dat in de zinkkans?

	Het gewicht van kinderen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 42 kg en een standaardafwijking van 7 kg.

	c.	Hoe groot is de kans dat het vlot zinkt als er 3 volwassenen en 2 kinderen op zitten?

2.	De Volkskrant bestaat op zaterdag altijd uit twee delen: de normale krant en daarin gevouwen zit dan het het Volkskrant Magazine. De gewone zaterdagkrant heeft een gewicht dat normaal verdeeld is met een gemiddelde van 800 gram en een standaardafwijking van 50 gram. Het Volkskrant Magazine heeft een gewicht dat normaal verdeeld is met een gemiddelde van 450 gram en een standaardafwijking van 25 gram. Be reken de kans dat een Volkskrant op zaterdag met het daarbij ingevouwen Magazine in totaal meer weegt dan 1,5 kg.

3.	Als een medewerker van de helpdesk bij een groot bedrijf een klant helpt moet hij altijd twee dingen doen. Op de eerste plaats moet hij de klant natuurlijk te woord staan, en dat kost gemiddelde 160 seconden met een standaardafwijking van 45 seconden (normaal verdeeld). Daarna moet hij de gegevens en afspraken van het gesprek verwerken in een digitaal klantenbestand, en dat kost gemiddelde 60 seconden met een standaardafwijking van 20 seconden (ook normaal verdeeld).

	a.	Hoe groot is de kans dat het afhandelen van één klant in totaal meer dan 250 seconden duurt?

	b.	Hoe groot is de kans dat de medewerker voor 40 klantgesprekken minder dan 2 uur nodig heeft?

4.	Het gewicht van bloemkolen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 850 gram en een standaarddeviatie van 120 gram. De bloemkolen worden per 20 stuks vervoerd in een krat, waarvan het gewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 4 kg en een standaardafwijking van 250 gram. In een vrachtwagen staan 50 zulke kratten, gevuld met bloemkool. Hoe groot is de kans dat het totale gewicht van deze lading meer dan 250 kg is?

5.	Een zwemvereniging wil graag meedoen aan een estafette-wisselslag wedstrijd. Daarvoor keten een schoolslagzwemmer, een rugslagzwemmer, een vlinderslagzwemmer en een vrije-slag-zwemmer aangewezen worden, die elk 50 meter moeten gaan zwemmen. Om een keuze voor het team te maken houdt men eerst clubwedstrijden.

	a.	Bij de schoolslag tijdens die wedstrijden was de zwemtijd normaal verdeeld met een gemiddelde van 52 seconden en een standaardafwijking van 4 seconden Naar verwachting hoeveel van de 126 deelnemers zwommen dan sneller dan 45 seconden?

	b.	Bij de vlinderslag tijdens die wedstrijden was de zwemtijd normaal verdeeld met een gemiddelde van 38 seconden en een standaardafwijking van 5 seconden Hoe snel moest je dan waarschijnlijk zwemmen om bij de beste 10 van de 52 deelnemers te komen?

	c.	Het uiteindelijke team bestaat uit 4 zwemmers die in hun trainingen de volgende tijden hebben laten zien (allen normaal verdeeld): - Schoolslag: gemiddelde 41 seconden (s = 3) - Rugslag: gemiddelde 46 seconden (s = 3) - Vlinderslag gemiddelde 32 seconden (s = 1) - Vrije slag: gemiddelde 28 seconden (s = 2) Hoe groot is de kans dat de estafette uiteindelijk in minder dan 140 seconden gezwommen zal worden? (neem aan dat het wisselen geen tijd kost of oplevert).