uitslag


De plaats van de top.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Als je een uitslag van een piramide maakt, dan krijg je steeds één grondvlak. waaraan aan elke zijde een zijvlak vastzit
Die zijvlakken ontmoeten elkaar uiteraard allemaal in de top.

Als je een uitslag van een piramide wilt maken is het handig om te bekijken boven welk punt van het grondvlak die top nou ligt.

Neem de uitslag hiernaast van een piramide met een vierkant grondvlak.

Om de plaats van de top te vinden draai je de piramide gewoon weer in elkaar!

Als je bijvoorbeeld het linkervlak TDA hiernaast weer "omhoog draait" dan blijft de top tijdens dat draaien de hele tijd boven de rode lijn hiernaast die loodrecht op AD staat.

Dus ergens op die rode lijn ligt het punt waar de top in de ruimtelijke figuur loodrecht boven ligt

Maar volgens die redenering kun je bijvoorbeeld het achtervlak TDC ook wel weer omhoog draaien, en dan moet de top boven de blauwe lijn hiernaast liggen (die loodrecht op DC staat).

Kortom: de plaats waar de top boven ligt is het snijpunt van de rode en de blauwe lijn (T' hiernaast).

Eeehhhm... waarom is dit ook alweer handig.....?

Neem de uitslag van de vierzijdige piramide met grondvlak ABCD waarvan hiernaast een deel is getekend. Stel dat we die uitslag af willen maken.
Dan moet daar aan BC en aan DC dus nog een vlak komen.
Maar hoe?.....

Om dit op te lossen gaan we eerst de plaats van de projectie van de top op het grondvlak opsporen.

Draai vlak TAB weer omhoog dan ligt de top de hele tijd boven de rode lijn (die loodrecht op AB staat).
Draai valk TAD weer omhoog dan ligt de top de hele tijd boven de blauwe lijn (die loodrecht op AD staat).

Kortom: het is het snijpunt van beide lijnen!!

Als je dat eenmaal weet kun je dus vanaf die T' ook lijnen loodrecht op de andere zijden tekenen. Dat zijn de groene en de paarse lijn hiernaast.

We weten dus nu dat de top in de uitslag ergens op die groene en die paarse lijn moet liggen.

De precieze plaats van die punten T kun je dan eenvoudig vinden door de lijnen BT en DT om te cirkelen.

Hiernaast zie je hoe dat is gebeurd en hoe dat de volledige uitslag van de piramide oplevert.

De kortste route.

Hiernaast zie je een slak die op een houten balk (van 6 bij 8 bij 10) in hoekpunt G zit. De slak gaat van G naar B kruipen over het oppervlak van de balk, maar doet dat via een punt P op EH en een punt Q op AE. De afmetingen van de balk zijn hiernaast aangegeven.

Wat is de kortste route die de slak kan volgen?

De oplossing is kinderlijk eenvoudig als je een uitslag van de balk bekijkt waarin de vlakken EFGH en EHAD en ADBC "aan elkaar" zitten.

Kijk maar:

De kortste route tussen G en B is nu uiteraard een rechte lijn.
De lengte vinden we eenvoudig met Pythagoras: BG = √(26² + 8²) = √740
Uit gelijkvormige driehoeken volgt ook vrij eenvoudig de plaats van de punten P en Q.(AQ = HP = ⁴⁰/₁₃, reken dat zelf maar na)

OPGAVEN

1.	Maak de uitslag van de volgende piramiden af. T is elke keer de top.



	a.	b.	c.

Bereken bij onderstaande ruimtelijke figuren de kortste route van P naar Q via de aangegeven route over het oppervlak van de figuur.


a.	b.	c.

Een halve cilinder heeft afmetingen als hiernaast (steaal grondvlak 8, hoogte 16).
Van punt A naar punt B wordt een touw getrokken (groen getekend in de figuur hiernaast)

Het touw wordt strak getrokken waardoor het zo kort mogelijk is

Wat is het kortste touw dat hiervoor gebruikt kan worden?
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Je kunt het touw ook halverwege naar de achterkant trekken naar punt P trekken (P is dus het midden van de grondribbe aan de achterkant), en daarna terug naar de voorkant zoals hiernaast.

Hoe lang is dat touw in dat geval?
Geef je antwoord in twee decimalen