© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Het Vaasmodel.
 
Korte inhoud van het voorafgaande:
Ooit, lang, lang geleden hebben we "kans" als volgt omschreven:

Daarna zijn we die mogelijkheden handig gaan tellen, en kwamen we uit op het volgende:

Kies k dingen uit een verzameling van n,
•  zonder terugleggen.
•  de volgorde is niet van belang.

dan kan dat op = (n nCr k) manieren
Deze twee principes gaan we nu toepassen.
   
Voorbeeld:
Neem een vaas met 8 rode en 5 blauwe knikkers.
trek er 5 uit zonder terugleggen.
Hoe groot is de kans op 3 blauwen en 2 roden?

Oplossing:
Laten we de aanpak van de "gunstige"  en de "totale"  mogelijkheden volgen.
Wat is het totaal aantal mogelijkheden (zonder voorwaarden aan de kleuren) om 5 knikkers uit een vaas van 13 te halen, waarbij de volgorde niet van belang is?

Nou dat staat hierboven: dat kun je met combinaties uitrekenen:   = 1287  manieren
Voor het aantal gunstige manieren gaat het erom op hoeveel manieren je 3 blauwen én 2 roden kunt trekken uit deze vaas.
3 blauwen uit de 5 blauwen kan op = 10 manieren, en 2 roden uit de 8 roden kan op = 28 manieren
Die moet je met elkaar vermenigvuldigen, immers bij élk van die 10 manieren voor de blauwen krijg je 28 nieuwe manieren voor de roden. Samen geeft dat dan  10 • 28 = 280 gunstige mogelijkheden.
De kans is dan  gunstig/mogelijk = 280/1287 ≈ 0,22
Als je er een beetje handig in wordt, dan schrijf je deze kans trouwens in één keer op:
Misschien is je aan deze kansen al wel iets regelmatigs opgevallen.
Als dat zo is, kun je dan van deze 4 antwoorden meteen zeggen welke de foute is, alhoewel je niet eens weet bij welke vraag ze horen?

Oplossing:

nummer 2
Dat zit hem in het volgende. Neem bijvoorbeeld de derde oplossing (op een nog steeds onbekende vraag).
Daar valt het volgende aan op:

Voor de rode getallen geldt  9 + 8 + 4 = 21  en voor de blauwe geldt  3 + 1 + 2 = 6.
Dat geldt bij de andere antwoorden ook, behalve bij nummer 2, want 2 + 3 + 1 is niet gelijk aan 4. Daarom moet nummer 2 wel fout zijn. Deze eigenschap kun je handig gebruiken om te controleren of je niet iets verkeerd hebt gedaan.
Maar pas wel op;
Als je uit een vaas met  4 rode en 6 groene en 8 blauwe ballen zonder terugleggen 5 ballen haalt, en je wilt de kans berekenen op 3 groene en 2 blauwe, dan geeft dat  de combinaties hiernaast.
En daarbij klopt het regeltje hierboven niet, want 6 + 8 is niet 18.
Je kunt het wel kloppend maken door je te realiseren dat van de 4 rode ballen er 0 getrokken moeten worden. Dan geeft dat:

En nou klopt het weer wél.  Die 4 nCr 0 heeft verder geen invloed op het antwoord want dat is gelijk aan 1.
Het VAASMODEL.
Het hoeft bij dit soort berekeningen natuurlijk niet altijd om vazen of dozen of zakken te gaan met knikkers of ballen erin.
Ook andere problemen kun je vaak terugvertalen naar een vaas met ballen erin.  Je moet even goed nadenken over wat de vaas is, wat de ballen zijn en hoeveel je er uithaalt. Voorwaarde is altijd wél dat het om trekken zonder terugleggen gaat, en dat de volgorde niet van belang is.

Probeer de volgende vraagstukken maar te zien als een vaas met ballen.
   
 
 
  OPGAVEN
1. a. In een vaas zitten 8 witte en 14 zwarte ballen. Iemand haalt er zonder terugleggen 7 ballen uit.
Bereken de kans op precies 3 witten.
       
  b. In een bestekbak zitten 10 messen,  8 lepels en 12 vorken.
Er vallen er per ongeluk 9 van op de grond.
Bereken de kans dat er  3 messen, 2 vorken eb 4 lepels op de grond vallen
       
  c. Iemand kiest willekeurig 12 verschillen de getallen tussen 1 en 100.
Hoe groot is de kans dat er 4 daarvan deelbaar door 3 zijn?
       
  d. In een zak Mars Minimix zitten 25 chocoladereepjes.
4 Twix,  5 Bounty,  7 Mars, 5 Snickers en 4 Milky Way.

Iemand haalt zonder terugleggen 10 reepjes uit.

Hoe groot is de kans op van elke soort 2 reepjes?
2. Een zak met paaseitjes bevat een mengsel van Melkchocolade-eitjes en eitjes van pure chocolade.
Er zijn van elk 20 in de zak.
Iemand haalt er een handje van 8 eitjes uit.
Hoe groot is de kans op 5 melk en 3 puur?

3. Een wandpaneel voor sleutels heeft 32 genummerde haken om een sleutel aan op te hangen.

Aan dit rek worden op willekeurige plaatsen 25 sleutels opgehangen, nooit meer dan één per haak.

Hoe groot is de kans dat de haken  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13  dan leeg blijven?
4. De zes klassen van een middelbare school bestaan uit de volgende aantallen leerlingen:
klas 1 2 3 4 5 6
aantal leerlingen 100 90 85 81 76 64
Men kiest willekeurig een team van 6 leerlingen van deze school.
Bereken de kans op:
     
a. een team met alleen bovenbouwleerlingen (klassen 4, 5 en 6).
     
b. een team met 4 leerlingen uit de 2e klas en 2 leerlingen uit de 4e klas.
     
c. een team met uit elke klas precies één leerling.
       
5. Ne een talentenjacht waar 12 zangers aan deelnamen moeten de twee juryleden beslissen welke 3 zangers naar de finale mogen.
Ze kiezen elk 6 zangers uit die wat hun betreft door zouden kunnen gaan naar de finale.
Als ze geen voorkeur zouden hebben, en dus deze zangers willekeurig zouden kiezen, hoe groot is dan de kans dat er precies 3 zijn op wie ze beiden hebben gestemd?,

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)