© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Een variabel punt.
       
Als je een vectorvoorstelling van een lijn hebt, dan zie je daaraan direct dat een willekeurig punt van die lijn maar van één getal afhangt. Dat getal is namelijk de enige letter in zo'n vectorvoorstelling, en die heet meestal λ. Als λ bekend is, is het punt dat erbij hoort ook bekend. Bij elk punt hoort precies één λ, en bij elke λ hoort precies één punt.
Dan heeft een willekeurig punt P  van die lijn de coördinaten P = (-2 + 3λ,  1 + 4λ).
Zie je wel?  Zei ik toch?  Alleen maar een λ....
       
Wat kun je d'r mee?
       
Ach, eigenlijk van alles.....
Hier volgt een kleine greep uit de talloze mogelijkheden...Volg de voorbeelden maar, en je krijgt vanzelf een idee van "Hoe het werkt". Eigenlijk doe je alle berekeningen met vectoren uit de vorige lessen nu met een variabele (λ) erin.

1. snijpunten uitrekenen.
 
Voorbeeld:
En verder is er de cirkel  x2 + y2 = 25.  Bereken de snijpunten van de lijn met de cirkel.
   
Oplossing:
Begin eerst met vast te stellen dat een variabel punt van de lijn het punt  (1 + λ, 6 - λ) is.
Dat punt moet dus óók op die cirkel liggen. Maar dat betekent dat je de coördinaten van dat punt kunt invullen in de vergelijking van de cirkel.  Dat moet dan kloppen.
Dat geeft  (1 + λ)2 + (6 - λ)2 = 25
⇒ 1 + 2λ + λ2 + 36 - 12λ + λ2 = 25
⇒ 2λ2 - 10λ - 12 = 0  
⇒  λ2 - 5λ + 6 = 0 
⇒  (λ - 2)(λ - 3) = 0 
⇒  λ = 2  ∨  λ = 3
Het variabele punt was (1 + λ, 6 - λ)  en dat is dan nu geworden: (3, 4) en (4, 3).
       
2.  afstanden uitrekenen.
       
Voor de afstand d tussen twee punten  P(xP, yP) en Q(xQ, yQ) geldt:
       

d = √( (xP - xQ)2 + (yP - yQ)2 )

       
Maak je niet al te druk; daar staat eigenlijk gewoon Pythagoras.
Maar natuurlijk kan één van die punten (of zelfs beiden) best een variabel punt zijn. Waarom niet?
       
Voorbeeld:
Welk punt van deze lijn heeft afstand 3√2  tot het punt P(7, 6)?
   
Oplossing:
Nou, een variabel punt van deze lijn is nog steeds   (1 + λ, 6 - λ)  net als in het vorige voorbeeld.
De afstand van dit variabele punt tot P(7, 6) is dan gelijk aan (met de d-formule hierboven) :   
√((1 + λ - 7)2 + (6 - λ - 6)2 ) =  √((λ - 6)2 + (-λ)2) = √(2λ2 - 12λ + 36) = 3√2
Kwadrateren:  2λ2 - 12λ + 36 = 18 
⇒  2λ2 - 12λ + 18 = 0  
⇒  λ2 - 6λ + 9 = 0 
⇒  (λ - 3)2  = 0 
⇒ λ = 3
Dat geeft het punt  (4, 3)
       
3. hoeken uitrekenen.
Dat doen we in een latere les; we moeten daarvoor eerst een formule voor de hoek tussen twee vectoren behandelen.
       
4.  bewijzen.
       
Voorbeeld
Zie de figuur hiernaast.
l is de lijn:
Punt P beweegt over lijn l
Punt A is het put  (4, 0)
Punt M is het midden van  AP
Toon aan dat M over een rechte lijn beweegt en geef een vectorvoorstelling van die lijn.
   
Oplossing:  
Een variabel punt van l is het punt  P(2l, 1 + l)
M is het midden van  AP dus de coördinaten van M zijn het gemiddelde van die van A en P
Het gemiddelde van  (2l, 1 + l) en  (4, 0)  is  (2 + l, 0,5 + 0,5l)
M = (2 + l, 0,5 + 0,5l)  en ligt dus op de rechte lijn:
       
 
 
OPGAVEN
     
1. Gegeven is punt P(11, 5)
Welk punt van de lijn y = 2x + 3 heeft afstand 10 tot P?
     
2. Vanaf de oorsprong O trekken we een lijn naar een punt P  dat ergens op de lijn y = 5 - 0,5x  ligt, en vervolgens gaan we in een rechte lijn van P naar het punt  Q(0, 3)

Voor welke P is de totale afgelegde afstand minimaal?
Geef de coördinaten in twee decimalen nauwkeurig.

3. Gegeven is de lijn: 
 

         
  Deze lijn snijdt de parabool  y = 3x2 + x - 2  in twee punten A en B
Bereken algebraïsch de afstand AB
   
4 l  is de lijn:
 

         
  A beweegt over lijn l
B is het punt  (-1, 10)
M is het midden van AB

Toon aan dat de punten M op een rechte lijn liggen en geef een vectorvoorstelling van die lijn.
         
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)