Venndiagram

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Venn-Diagrammen.

Dwars door Arnhem stroomt de Rijn.
Nou is het in Arnhem nogal belangrijk of je ten Noorden van de Rijn woont of ten Zuiden. Ze spreken van `noorderlingen` en van `zuiderlingen` en die twee bevolkingsgroepen trekken eigenlijk nauwelijks met elkaar op. ´t Is nog nét geen ruzie....

Een wiskundeleraar aan een school midden in Arnhem heeft in zijn klas leerlingen die noorderling zijn (N), en ook leerlingen die zuiderling (Z) zijn.

Ze zitten inderdaad per`soort` bij elkaar met grote ruimte tussen beide groepen. Dat kun je op de plattegrond van de klas hiernaast wel zien.

Maar dan komen er op een dag twee nieuwe leerlingen in de klas die een tweeling zijn met gescheiden ouders. De vader woont in Noord, en de moeder in Zuid en beide kinderen wonen af en toe bij vader en af en toe bij moeder. Ze hebben daarom vriendjes in Noord én in Zuid.

Ze gaan daarom maar in de middelste rij zitten, want ze horen eigenlijk bij Noord én bij Zuid. Ze willen ook niet kiezen eigenlijk.

De wiskundeleraar bedenkt zich dat zijn plattegrond dan eigenlijk moet worden als hiernaast.
Met twee van die cirkels door elkaar getekend klopt het helemaal: alle leerlingen uit Zuid zitten nu in de ene cirkel en alle leerlingen uit Noord in de andere. En de nieuwe leerlingen die bij beiden horen zitten inderdaad in beide cirkels.

Hij leunt tevreden achterover....Hij vindt zichzelf nogal slim....

Als echte wiskundeleraar houdt hij van netheid en van orde.

En verdomd! Zijn systeem werkt geweldig!!!!
Later in het jaar komt er een leerling bij die zelfs helemaal niet in Arnhem woont. Die zet hij dan gewoon aan een tafeltje buiten beide cirkels!

Bijvoorbeeld op die plaats X hiernaast.

Zo heeft de leraar nu al 4 "gebieden " in zijn klas, namelijk
"Noord (N)" , "Zuid (Z)" , "NoordZuid (NZ) " en "Elders (X) ".
Je zou het schematisch zó kunnen tekenen (we stappen nu even af van het klaslokaal en maken er als echte wiskundigen meer schematische tekeningen van):

De hele rechthoek stelt het klaslokaal voor, de beide cirkels de leerlingen uit Noord en uit Zuid. Let erop dat de aantallen nu precies kloppen. Deze schematische manier van aantallen weergeven heet een Venn-diagram. (genoemd naar de Engelse wiskundige John Venn)

Kruistabel.

OK, ik moet eerlijk zeggen; deze gegevens kun je natuurlijk ook in een tabel zetten, met aan de boenkant bijvoorbeeld "Noord" en aan de linkerkant "Zuid"
Zo'n tabel heet een kruistabel en zou er zó uit zien:

		Noord
		wel	niet
Zuid	wel	2	6
Zuid	niet	8	1

Ook hieruit kun je natuurlijk snel aantallen aflezen; zo is het totaal aantal in Noord gelijk aan de som van de eerste kolom.

Uitbreiding.

Maar stel nu dat de wiskundeleraar er later nog drie kinderen bij krijgt waarvan de ouders gescheiden zijn, waarbij de ene ouder buiten Arnhem woont en de andere in Noord. Dan kan hij zijn Venn-diagram eenvoudig aanpassen zoals hiernaast is gebeurd (B = buiten Arnhem)

Of misschien is het mooier van die rechthoek ook een cirkel te maken, en die ook met beide andere gebieden te laten overlappen, zoals hiernaast is gebeurd. Dan kan hij ook leerlingen kwijt waarvan de ene ouder buiten Arnhem woont en de andere in Zuid.
(het gebied waar alle drie de cirkels elkaar snijden is een beetje apart: een leerling die deels buiten Arnhem, deels in Noord én deels in Zuid woont???? Drie ouders??? Zal meestal leeg blijven...)

En met nog weer een blok eromheen zouden in de ruimte buiten alle cirkels maar wel binnen het blok de kinderen staan die helemaal niet op deze school zitten (buiten het klaslokaal van de drie cirkels).....Daarvan vinden we het dan niet interessant waar ze wonen natuurlijk.

Deze manier van aantallen weergeven is erg efficiënt.
Kijk maar eens naar het Venndiagram hiernaast en beantwoord zo snel mogelijk de volgende vragen:

• Van hoeveel leerlingen woont één ouder buiten Arnhem en de
ander in Zuid?
• Van hoeveel leerlingen woont minstens één ouder in Noord?
• Van hoeveel leerlingen wonen beide ouders buiten Arnhem?

Je ziet dat je met zo'n Venn-diagram zulk soort vragen supersnel kunt beantwoorden, hoop ik.
Denk er in de volgende vragen goed om dat elke cirkel staat voor een "eigenschap":

Probeer gewoon slimme cirkels te tekenen!!

Zo'n diagram met drie cirkels is niet zo makkelijk (of eigenlijk "niet") in een kruistabel te zetten.

OPGAVEN

In een klas van 28 leerlingen zijn op het proefwerk Engels 6 onvoldoendes gevallen.
Op het proefwerk Wiskunde zijn 11 onvoldoendes gevallen.
Er waren 4 leerlingen die op beide proefwerken een onvoldoende hadden.

Hoeveel leerlingen hadden voor beide proefwerken een voldoende?

Van de leerlingen van een school blijkt uit een enquête dat 42% alcohol gebruikt en 26% rookt.
Maar ook een groot aantal leerlingen doet geen van beiden: dat is 34%
Er deden 440 leerlingen aan de enquête mee.

Hoeveel lederlingen uit de enquête gebruikten alcohol, maar rookten niet?

In een enquête wordt aan de 620 deelnemers gevraagd of zij een hond of een kat als huisdier hadden.
45% bleek een hond te hebben en 246 mensen hadden een kat.
250 mensen hadden wel een hond, maar geen kat.

Hoeveel mensen hadden geen hond en ook geen kat?

Beantwoord de vraag door een Venn-diagram te tekenen

Beantwoord de vraag door een kruistabel te maken.

In een woonwijk staan drie grote supermarkten: Albert Heijn, Jumbo en COOP

Van 390 gevraagde personen uit de wijk winkelen er 210 wel eens bij Albert Heijn, 120 winkelen wel eens bij Jumbo en 180 winkelen wel een bij COOP.
Er is niemand die bij geen van de drie supermarkten winkelt.
Er zijn er 60 die zowel bij Albert Heijn als Jumbo winkelen, 42 die zowel bij Jumbp als COOP als bij winkelen, en 30 winkelen zowel bij Jumbo als bij COOP.

Hoeveel van deze mensen winkelen alleen bij Albert Heijn, en geen van de andere beiden?

34% van de mensen heeft bloedgroep O
55% van de mensen met bloedgroep O is vrouw, en 65% van de mensen met een andere bloedgroep is vrouw.

Hoeveel procent van de vrouwen heeft bloedgroep O ?

Beantwoord de vraag door een Venn-diagram te tekenen

Beantwoord de vraag door een kruistabel te maken.