© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Verdubbelingsformules.


 
Deze twee formules kwamen we in de vorige les tegen:

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ -  sinαsinβ
Maar als je kiest  β = α, dan veranderen deze formules in de volgenden (ga het zelf maar na, het is erg eenvoudig):

sin(2α) = 2sinαcosα
cos(2α) = cos2α - sin2α
Omdat ze het verband tussen de sinus en cosinus van een hoek en zijn dubbele geven, worden het wel de verdubbelingsformules genoemd.
   
Die van cos(2a) kun je trouwenjs ook noig anders schrijven door gebruik te maken van het feit dat  cos2a + sin2 a = 1
Kijk maar:

cos(2a) = cos2a - sin2a = (1 - sin2a) - sin2a = 1 - 2sin2a
en ook:
cos(2a) = cos2a - sin2a = cos2a - (1 - cos2a) = 2cos2a - 1

Zo staan ze ook op je formulekaart:
sin(2α) = 2sinαcosα
cos(2α) = cos2α - sin2α
= 2cos2α - 1
= 1 - 2sin2α
   
Primitieven van  sin2x  en  cos2x.
   
Je klunt de functies  y = sin+2x en y = cos2x niet direct primitiveren.
Maar als je ze eerst met behulpo van de verdubbelingsformules anders schrijft dan wil het wél.

Van de verdubbelingsformules kun je namenlijk maken sin2x  ....  of  cos2x = .....  en dan kun je wat daar op die stippeltjes staat wél primitiveren.
Kijk maar:

cos2x = 1 - 2sin2x
cos2x - 1 = -2sin2x
1 - cos2x = 2sin2x
1/2 - 1/2cos2x = sin2x

En die laatste is makkelijke te primitiveren. De primitieve is  1/2x - 1/4sin2x
En die van cos2x gaat op precies dezelfde manier.
 

de primitieve van   f(x) = sin2x   is    F(x) = 1/2x - 1/4sin2x 
de primitieve van   f(x) = cos2x   is    F(x) = 1/2x + 1/4sin2x 
   
Voorbeeld:  

Gegeven is de functie f(x) = 3cos2x + 2sin2x
Bereken de exacte waarde van de oppervlakte onder de grafiek van  f  tussen x = 0 en x = π

Oplossing:

=  (1,5p + 0 + p - 0) - (0 ) = 2,5p
   
Tussendoortje.

Als je trouwens de integraal van sin2x tussen 0 en 2π wilt berekenen ben je natuurlijk GEK als je het via deze primitieve doet.
Ik hoop dat je aan het volgende plaatje direct ziet dat daar π moet uitkomen:
   

   
Het groene en het paarse deel zijn gelijk.......
   
 
 
OPGAVEN
1. a. Door te schrijven  cos(3α) = cos(2α + α)  kun je bewijzen dat  cos(3α) =  cos3α - 3sin2a cosa
Bewijs dit.
     
b. Toon aan dat  cos(4α) = 8cos4α - 8cos2α + 1
     
c. Toon aan dat  cos(4α) = 1 - 8sin2α · cos2α
2. In een rechthoekige driehoek PQR met PQ = 12 wordt de bissectrice PS getekend.
Het blijkt dat QS = 5.

Bereken PR.

 

 

     
3. Bereken de nulpunten en de extreme waarden die de functie  f(x) = 2cos2x - cosx  in het interval [0, 2π] heeft.
     
4. a.
     
  b. Los op in [0, 2π]:   cos2x + cosx = 2
       
5. .Met domein [0, 2π] zijn de functies f en g gegeven door:
f(x) = 2cos2x  en   g(x) = 1 - cosx

Hiernaast zijn de grafieken van f en g getekend.

De vlakdelen ingesloten door de grafieken van f en g zijn in deze figuur aangegeven door A en B  ingekleurd

       
  a. Bereken de maximale lengte van een verticaal lijnstuk in het vlakdeel A.
       
  b. Bereken algebraïsch de oppervlakte van het vlakdeel B.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)