verwachtingswaarde

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Verwachtingswaarde.

Laten we beginnen met een kansverdeling.
Een kansverdeling is een tabel van een kansexperiment, waarin alle mogelijke uitkomsten met de kans erop staan. Hij ziet er eigenlijk altijd uit als hiernaast.
Let erop dat de som van alle kansen altijd 1 is; immers er staan alle mogelijke uitkomsten in deze tabel! Dat kun je gebruiken om te controleren of je kansverdeling klopt.

Laten we een kansverdeling gaan maken...

uitkomst X	kans P(X)
...	...
...	...
...	...
totaal:	1

Stel dat je met twee dobbelstenen gooit, en dat H het hoogste aantal van de twee ogen is (bij gelijke aantal één van beiden).

De kansverdeling daarvan ziet er als volgt uit, deze keer horizontaal getekend. (reken de kansen zelf maar na met bijvoorbeeld een roosterdiagram):

hoogste H	1	2	3	4	5	6	totaal
kans P	¹/₃₆	³/₃₆	⁵/₃₆	⁷/₃₆	⁹/₃₆	¹¹/₃₆	1

De interessante vraag van vandaag is: "Als ik dit experiment heel vaak zou uitvoeren, en alle H's die ik vind noteer, wat zal dan het gemiddelde van al die H's worden?"
Op de eerste plaats moeten we concluderen dat we niet zeker weten wat dat gemiddelde zal worden, immers het blijft een kansexperiment, en kansen zijn nou eenmaal geen zekerheden (misschien gooi je wel toevallig heel vaak (1,1), nietwaar?). Daarom zullen we het vanaf nu niet hebben over het gemiddelde, maar over het verwachte gemiddelde.

Stel dat we 3600 keer gooien.
Dan kunnen we aan de kansen zien hoe vaak we verwachten dat H gelijk is aan 1, 2, 3, 4, 5 of 6.
We verwachten 100 keer 1, 300 keer 2, 500 keer 5, 700 keer 7, 900 keer 5 en 1100 keer 6.
Dat geeft als gemiddelde:

Maar ja, je weet natuurlijk niet hoe vaak we gooien....
Laten we het ook proberen voor 7200 keer gooien, dan verwachten we 200 keer 1, 600 keer 2, 1000 keer 3, 1400 keer 4, 1800 keer 5 en 2200 keer 6, en dat geeft het gemiddelde:

Daar komt hetzelfde uit?
Is dat logisch?
Ja, ik denk het wel, immers alle getallen boven de streep zijn dubbel zo groot geworden, maar de noemer ook. De breuk blijft dan even groot. Dat dat altijd zo is kun je ook zien door de bovenste breuk uit te splitsen:

Maar daar in het rood staan precies de kansen uit onze tabel!!!!!
Er staat dus eigenlijk: Verwachte gemiddelde = P(1) • 1 + P(2) • 2 + P(3) • 3 + P(4) • 4 + P(5) • 5 + P(6) • 6
Vermenigvuldig gewoon steeds de kans op een uitkomst met die uitkomst en tel alles op. Dat geeft het verwachte gemiddelde. Dat verwachte gemiddelde noemen we voortaan de verwachtingswaarde en we gebruiken er de letter E voor.
conclusie:

Voor de verwachtingswaarde E vermenigvuldig je alle
uitkomsten met de kans erop, en telt dat allemaal bij elkaar op.
E(X) = X₁ • P(X₁) + X₂ • P(X₂) + ...

Dat is eigenlijk ook logisch als je de volgende twee tabellen bekijkt. De linkertabel geeft van een groot aantal worpen met twee dobbelstenen aan hoe vaak elk getal als hoogste voorkwam. Het is een frequentietabel, ofwel een frequentieverdeling. En om het gemiddelde te berekenen doe je steeds ( uitkomst • frequentie) en deelt dan door alle frequenties samen.
De rechtertabel is onze kansverdeling. Maar een kans is eigenlijk ook een soort frequentie. Om precies te zijn een verwachte frequentie. Daarom komt er op deze manier niet het gemiddelde uit maar het verwachte gemiddelde: de verwachtingswaarde E.

H	1	2	3	4	5	6	totaal
f	27	82	138	195	252	306	1000

H	1	2	3	4	5	6	totaal
P	¹/₃₆	³/₃₆	⁵/₃₆	⁷/₃₆	⁹/₃₆	¹¹/₃₆	1




Alleen staat er bij de verwachtingswaarde in deze breuk altijd onder de streep de noemer 1, immers alle kansen samen zijn 1.

OPGAVEN

Je hebt een vaas met zes knikkers, drie rood en drie geel.
Je trekt er twee uit en verft de eerste in dezelfde kleur als de tweede (indien nodig).
Dat doe je drie keer (zonder ze terug te leggen)
Hoeveel knikkers verwacht je gemiddeld te moeten verven?

Joke en Gezien spelen elke week een tenniswedstrijd tegen elkaar. Joke is een iets betere tennisster dan Gezien en heeft bij elke set die ze spelen een kans van 0,65 om te winnen, en dus 0,35 om te verliezen. Ze spelen “best-of-three”; dat betekent dat degene die het eerst twee sets wint de wedstrijd heeft gewonnen. Een set duurt gemiddeld 14 minuten.

Bereken de kans dat Joke wint.

Bereken hoeveel minuten een wedstrijd gemiddeld zal duren.

Een deelnemer aan een quiz heeft de eerste ronde doorstaan en daarin 200 euro gewonnen. Hij moet nu beslissen of hij stopt en dat geld mee naar huis neemt, of dat hij doorspeelt en zijn bedrag probeert te verhogen in de tweede ronde.
In die tweede ronde moet hij 3 keer met een dobbelsteen gooien. Elke keer als hij 5 of 6 gooit wordt zijn bedrag verdubbeld, maar bij 1 t.m. 4 wordt zijn bedrag gehalveerd. Hij kan dus uiteindelijk bijvoorbeeld met 1600 euro naar huis gaan, maar ook met 25 euro.

Maak een kansverdeling voor het bedrag dat de man zal winnen als hij doorspeelt in de tweede ronde.
Leg daarmee uit of het gemiddeld genomen verstandig is om door te spelen of niet

De Amsterdamse politie besluit op 2 februari alle mensen die de binnenstad in willen te controleren op het bezit van verfbommen. Men heeft een soort detectiecabine ontwikkeld die kan meten of er verf in aanwezig is, en men is van plan om alle mensen die de stad in willen via deze cabine er in te laten. Men weet namelijk dat 2% van de toeschouwers verfbommen bij zich zal hebben.

a.	Hoe groot is de kans dat er van 40 mensen die gemeten worden meer dan 4 mensen een verfbom bij zich hebben?

Men ontdekt tijdens het testen echter dat het meten erg veel tijd gaat kosten. Om de cabine één meting te laten uitvoeren is 2 minuten nodig, dus dat gaat op deze manier per toeschouwer 2 minuten kosten. Iemand stelt daarom het volgende voor: Meet de toeschouwers in groepjes van 5 tegelijk. Detecteert de cabine geen verf dan zijn alle vijf de mensen goedgekeurd in 2 minuten. Detecteert de cabine wél verf dan meten we alsnog de vijf mensen één voor één. In het laatste geval zal het totale meten dus 12 minuten hebben gekost.

b.	Maak een kansverdeling voor het aantal minuten dat met deze methode nodig is voor 5 mensen. Bereken vervolgens hoeveel procent besparing deze tweede methode geeft vergeleken met het één voor één meten van alle toeschouwers.

Je mag maximaal drie keer gooien met een dobbelsteen en je krijgt in euro's het aantal ogen van de laatste worp die je hebt gegooid. Je vraagt je af hoeveel je gemiddeld zult krijgen en wat een slimme tactiek is.

a.	Toon aan dat je, als je de derde keer gooit, gemiddeld €3,5 zult krijgen.

Met het antwoord van vraag a) in gedachten besluit je dus alleen nog de derde keer te gooien als de tweede worp minder dan 3,5 is, dus bij 1, 2 en 3 gooi je nog een keer en bij 4, 5 en 6 stop je.

b.	Toon aan dat je, bij het gooien van de tweede steen, dan gemiddeld €4,25 zult krijgen

c.	Hoeveel verwacht je gemiddeld te krijgen als je begint?

*Examenvraagstuk* In de nazomer zijn druiven zover gerijpt dat ze geoogst kunnen worden. De smaak van de druiven wordt aanzienlijk verbeterd als ze nog wat langer kunnen profiteren van de zonnewarmte. Daar staat tegenover dat, als de druiven langer blijven hangen, er een kans is op schade door langdurige regenval. De druiventeler heeft de keus uit twee manieren van oogsten:

I	Direct oogsten. De kwaliteit is dan redelijk. De helft van de oogst kan verkocht worden voor directe consumptie; de opbrengst is hierbij ƒ2,00 per kilo. De andere helft is alleen geschikt voor verwerking tot druivensap. De opbrengst van dit deel is ƒ1,30 per kilo. Dit is een manier van oogsten waaraan geen risico verbonden is.
II	Twee weken wachten en dan oogsten. De kwaliteit van de druiven is nu goed. De hele oogst kan verkocht worden voor ƒ2,30 per kilo. Maar er is een risico verbonden aan deze manier van oogsten. Als het in deze 14 dagen op meer dan 2 dagen regent, worden de druiven zodanig aangetast dat de oogst alleen nog maar geschikt is voor verwerking tot druivensap; de opbrengst is dan ƒ1,30 per kilo.

De druiventeler kan rekenen op een oogst van 12000 kilo. Hij kiest voor manier II

a.	Bereken het voordeel én het nadeel dat dit hem kan opleveren vergeleken met manier I.

Weerkundigen hebben berekend dat voor elke dag in de twee-weekse periode (zoals bedoeld in II) de kans op regen 15% is.

b.	Bereken de kans dat het tijdens die periode op meer dan 2 dagen regent.

c.	Welke manier van oogsten moet de kweker kiezen om de verwachte opbrengst van zijn druiven zo groot mogelijk te maken? Licht je antwoord toe met een berekening.

Een alternatieve fruitautomaat bestaat uit twee schijven A en B die onafhankelijk van elkaar draaien. Als beide schijven tot stilstand zijn gekomen wijst een dubbele pijl P de stand van de schijf aan.

Bereken de kans op twee gelijke cijfers.

De kans dat schijf B een hoger cijfer geeft dan schijf A is 0,5.

Toon dat aan

X is het aantal keer dat schijf B een hoger cijfer geeft dan schijf A.

Hoeveel keer moet je in totaal draaien opdat de kans dat X meer dan 4 is groter is dan 0,8?

Als pijl P twee oneven cijfers aanwijst krijg je €1,30 Bij twee even cijfers krijg je €1, - en bij een even en een oneven cijfer krijg je niets.

Hoeveel winst zul je gemiddeld per spel maken?

Men haalt schijf B uit de automaat en vervangt hem door de schijf hiernaast. S is nu de som van de cijfers van beide schijven (A en C) bij één keer draaien. Het blijkt dat de verwachtingswaarde van S gelijk is aan 6.

e.	Bereken het getal dat op de plaats van het vraagteken moet staan.

Ik heb een zak met twee munten erin. De ene munt is aan beide kanten rood, de andere is aan één kant rood en aan de andere kant blauw.
Jij mag aselect een munt uit de zak halen en die dan op tafel gooien.
Als er een rode kant boven ligt krijg je 5 euro, bij een blauwe kant boven krijg je 8 euro.

Bereken hoeveel geld je gemiddeld zult krijgen.

Hack-a-Shaq
Shaquille O'Neal is een van de beste basketbalspelers van de Los Angeles Lakers. Shaq, zoals zijn bijnaam is, is 2.10 lang en weegt 115 kilo. De meeste schoten die hij neemt zijn van dichtbij de basket, en omdat hij zo groot is, is het voor andere spelers moeilijk hem af te stoppen. Hij scoort maar liefst 57,2% van zijn schoten van dichtbij (dat is veel: de meeste spelers halen slechts zo'n 45%)
Als een speler door een overtreding een schot mist, mag hij twee vrije worpen nemen. Daarin is Shaq echter niet zo goed: hij scoort slechts 51,3% van zijn vrije worpen.

Gewone schoten zijn 2 punten waard, vrije worpen zijn 1 punt waard.
Omdat Shaq niet zo goed in vrije worpen scoort is een strategie om maar altijd een overtreding te begaan als hij aan de bal is. Deze strategie heeft de bijnaam "Hack-a-Shaq" gekregen.

Onderzoek of dat een goede strategie is. Doe dat door het verwachte aantal punten van Shaq te berekenen met en zonder overtreding


30.	Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2017-II

	Aan het eind van de achttiende eeuw kon je in het casino van de Russische stad Sint-Petersburg een bijzonder spel spelen. Hiervoor moest de speler eerst een vast aantal roebels inzetten. Deze inzet laten we in deze opgave buiten beschouwing. Het spel ging als volgt: Het casino legt 1 roebel in de pot. Vervolgens mag de speler net zo lang gooien met een zuiver muntstuk, tot hij munt gooit. Dan is het spel ten einde en ontvangt de speler de inhoud van de pot. Elk keer als de speler kop gooit, verdubbelt de bank de inhoud van de pot en mag de speler opnieuw het muntstuk gooien. De speler ontvangt dus 1 roebel als hij met de eerste worp al munt gooit. Als hij bijvoorbeeld eerst drie maal kop (k) gooit en dan munt (m), ontvangt hij 8 roebel. De kans hierop is P(kkkm) = (¹/₂ • ¹/₂ • ¹/₂ ) • ¹/₂ = (¹/₂)⁴ = ¹/₁₆ De kans dat de speler in een spel 8 roebel of meer ontvangt is ¹/₈

	a.	Toon dit aan.

	Een speler speelt het spel vier keer.

	b.	Bereken de kans dat hij minstens één keer 8 roebel of meer ontvangt.

	Na vier keer spelen van het spel heeft een speler twee keer 1 roebel, één keer 2 roebel en één keer 8 roebel ontvangen.

	c.	Bereken de kans dat dit zich voordoet.

	Het bedrag dat een speler kan ontvangen, loopt snel op. Maar de kans om zo’n hoog bedrag te ontvangen, wordt ook snel heel klein.

	d.	Bereken de kans dat een speler in één spel meer dan 5000 roebel ontvangt.

	In dit spel is het mogelijk dat de speler een heel groot bedrag ontvangt. De kans hierop is echter heel klein. Het casino wil niet te veel risico lopen en daarom wordt een extra regel ingevoerd. De speler mag in een spel maximaal vijf keer met het muntstuk gooien. Als hij dan nog geen munt heeft gegooid, krijgt hij dus niets uitbetaald.

	e.	Bereken de verwachte uitbetaling aan deze speler.