verwachtingswaarde

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Verwachtingswaarde.

Laten we beginnen met een kansverdeling.
Een kansverdeling is een tabel van een kansexperiment, waarin alle mogelijke uitkomsten met de kans erop staan. Hij ziet er eigenlijk altijd uit als hiernaast.
Let erop dat de som van alle kansen altijd 1 is; immers er staan alle mogelijke uitkomsten in deze tabel! Dat kun je gebruiken om te controleren of je kansverdeling klopt.

Laten we een kansverdeling gaan maken...

uitkomst X	kans P(X)
...	...
...	...
...	...
totaal:	1

Stel dat je met twee dobbelstenen gooit, en dat H het hoogste aantal van de twee ogen is (bij gelijke aantal één van beiden).

De kansverdeling daarvan ziet er als volgt uit, deze keer horizontaal getekend. (reken de kansen zelf maar na met bijvoorbeeld een roosterdiagram):

hoogste H	1	2	3	4	5	6	totaal
kans P	¹/₃₆	³/₃₆	⁵/₃₆	⁷/₃₆	⁹/₃₆	¹¹/₃₆	1

De interessante vraag van vandaag is: "Als ik dit experiment heel vaak zou uitvoeren, en alle H's die ik vind noteer, wat zal dan het gemiddelde van al die H's worden?"
Op de eerste plaats moeten we concluderen dat we niet zeker weten wat dat gemiddelde zal worden, immers het blijft een kansexperiment, en kansen zijn nou eenmaal geen zekerheden (misschien gooi je wel toevallig heel vaak (1,1), nietwaar?). Daarom zullen we het vanaf nu niet hebben over het gemiddelde, maar over het verwachte gemiddelde.

Stel dat we 3600 keer gooien.
Dan kunnen we aan de kansen zien hoe vaak we verwachten dat H gelijk is aan 1, 2, 3, 4, 5 of 6.
We verwachten 100 keer 1, 300 keer 2, 500 keer 5, 700 keer 7, 900 keer 5 en 1100 keer 6.
Dat geeft als gemiddelde:

Maar ja, je weet natuurlijk niet hoe vaak we gooien....
Laten we het ook proberen voor 7200 keer gooien, dan verwachten we 200 keer 1, 600 keer 2, 1000 keer 3, 1400 keer 4, 1800 keer 5 en 2200 keer 6, en dat geeft het gemiddelde:

Daar komt hetzelfde uit?
Is dat logisch?
Ja, ik denk het wel, immers alle getallen boven de streep zijn dubbel zo groot geworden, maar de noemer ook. De breuk blijft dan even groot. Dat dat altijd zo is kun je ook zien door de bovenste breuk uit te splitsen:

Maar daar in het rood staan precies de kansen uit onze tabel!!!!!
Er staat dus eigenlijk: Verwachte gemiddelde = P(1) • 1 + P(2) • 2 + P(3) • 3 + P(4) • 4 + P(5) • 5 + P(6) • 6
Vermenigvuldig gewoon steeds de kans op een uitkomst met die uitkomst en tel alles op. Dat geeft het verwachte gemiddelde. Dat verwachte gemiddelde noemen we voortaan de verwachtingswaarde en we gebruiken er de letter E voor.
conclusie:

Voor de verwachtingswaarde E vermenigvuldig je alle
uitkomsten met de kans erop, en telt dat allemaal bij elkaar op.
E(X) = X₁ • P(X₁) + X₂ • P(X₂) + ...

Dat is eigenlijk ook logisch als je de volgende twee tabellen bekijkt. De linkertabel geeft van een groot aantal worpen met twee dobbelstenen aan hoe vaak elk getal als hoogste voorkwam. Het is een frequentietabel, ofwel een frequentieverdeling. En om het gemiddelde te berekenen doe je steeds ( uitkomst • frequentie) en deelt dan door alle frequenties samen.
De rechtertabel is onze kansverdeling. Maar een kans is eigenlijk ook een soort frequentie. Om precies te zijn een verwachte frequentie. Daarom komt er op deze manier niet het gemiddelde uit maar het verwachte gemiddelde: de verwachtingswaarde E.

H	1	2	3	4	5	6	totaal
f	27	82	138	195	252	306	1000

H	1	2	3	4	5	6	totaal
P	¹/₃₆	³/₃₆	⁵/₃₆	⁷/₃₆	⁹/₃₆	¹¹/₃₆	1




Alleen staat er bij de verwachtingswaarde in deze breuk altijd onder de streep de noemer 1, immers alle kansen samen zijn 1.

OPGAVEN

De Amsterdamse politie besluit op 2 februari alle mensen die de binnenstad in willen te controleren op het bezit van verfbommen. Men heeft een soort detectiecabine ontwikkeld die kan meten of er verf in aanwezig is, en men is van plan om alle mensen die de stad in willen via deze cabine er in te laten. Men weet namelijk dat 2% van de toeschouwers verfbommen bij zich zal hebben.

a.	Hoe groot is de kans dat er van 40 mensen die gemeten worden meer dan 4 mensen een verfbom bij zich hebben?

Men ontdekt tijdens het testen echter dat het meten erg veel tijd gaat kosten. Om de cabine één meting te laten uitvoeren is 2 minuten nodig, dus dat gaat op deze manier per toeschouwer 2 minuten kosten. Iemand stelt daarom het volgende voor: Meet de toeschouwers in groepjes van 5 tegelijk. Detecteert de cabine geen verf dan zijn alle vijf de mensen goedgekeurd in 2 minuten. Detecteert de cabine wél verf dan meten we alsnog de vijf mensen één voor één. In het laatste geval zal het totale meten dus 12 minuten hebben gekost.

b.	Maak een kansverdeling voor het aantal minuten dat met deze methode nodig is voor 5 mensen. Bereken vervolgens hoeveel procent besparing deze tweede methode geeft vergeleken met het één voor één meten van alle toeschouwers.

Ik heb een zak met twee dobbelstenen erin. Een D4 en een D6.
Met een D4 kun je 1 tm 4 gooien, met ween D6 kun je 1 tm 6 gooien.
Ik kies willekeurig een dobbelsteen en gooi daarmee.
Als ik 4 of meer gooi krijg jij 8 euro van mij, bij minder dan 4 krijg je 2 euro.

Bereken hoeveel geld je gemiddeld zult krijgen.

In 2024 rijden er in Nederland drie soorten auto's rond namelijk met als brandstof diesel, benzine of elektrische auto's.
De aantallen waren in 2024 als volgt:

soort	diesel	benzine	elektrisch
aantal	19%	77%	4%

Laten we een spelletje gaan spelen. Jij geeft mij eerst 5 euro.
Daarna bekijken we de eerste auto die we langs de straat zien staan, en afhankelijk van het soort auto krijg jij van mij het volgende geld terug:

soort	diesel	benzine	elektrisch
bedrag	€10	€3	€20

Wie van ons zal er bij dit spelletje winst maken? Hoeveel winst zal dat per spelletje gemiddeld zijn?

We doen een spelletje, waarbij jij mag kiezen of je met 1 of 2 dobbelstenen wilt gooien.
Je krijgt het bedrag dat je in totaal aan ogen hebt gegooid, maar als je een zes gooit krijg je helemaal niets.
Hoeveel stenen kun je dan het best gooien?

Vijf mensen nemen allemaal een willekeurig getal van 1 tm 10 in gedachten.
Hoeveel getallen zullen dan gemiddeld niet gekozen worden?