transformaties logaritmen

Formules veranderen.

Deze les gaat het erom dat je een formule die eruit ziet als y = ..(iets met x)...... verandert in een formule x = ...... (en dan staat daar iets met y)..... We zeggen in zo'n geval ook wel: "Druk x uit in y"

Druk x uit in y ⇔ maak een formule x = .....(y).....

De nieuwe formule heet dan zoals we al eerder zagen, de inverse (= omgekeerde) van de oude.

voorafje: ²/₇ = ¹/₇• 2

Ja dûh....hoor ik je al denken..... logisch!!!
Maar toch... zodra het gaat om letters in plaats van getallen wordt dit simpele regeltje gauw vergeten.
Dan zie je toch vaak in formules iets staan als ^{(5x
-
6)}/₂ terwijl dat natuurlijk hetzelfde is als ¹/₂ • (5x - 6) = 2¹/₂x - 3
Dat laatste staat beter en werkt ook makkelijker in formules.

Met breuken wordt het nog mooier. Neem bijvoorbeeld iets als y = ¹/₅x + 2.
Als je daar x = ... van wilt maken krijg je eerst y - 2 = ¹/₅x en daarna x = ^{(y - 2)}/_0,2Maar dat kun je veel mooier schrijven: x = ¹/_0,2 • (y - 2) = 5 • (y - 2) = 5y - 10

hoofdmaaltijd: logaritmen en exponenten.

Voor de honderdste keer nog maar weer eens de hoofdregel om logaritmen en machten in elkaar te veranderen:

g^x = a ⇔ x = ^glog a

Dat gaan we nu gebruiken om logaritme-formules en exponenten-formules in elkaar om te zetten

Voorbeeld 1: Gegeven y = 6 + 3 • 2^{x - 1}. Druk x uit in y.

Oplossing:	met de balansmethode geeft dat achtereenvolgens: y = 6 + 3 • 2^{x - 1}y - 6 = 3 • 2^{x - 1} ¹/₃y - 2 = 2^{x - 1} ²log(¹/₃y - 2) = x - 1 1 + ^0,5log(¹/₃y - 2) = x x = 1 + ^0,5log(¹/₃y - 2)

Voorbeeld 2: Gegeven is y = 4 - 2 • ⁹log(x - 4). Druk x uit in y

*Oplossing:* alweer met de balansmethode:
	y = 4 - 2 • ⁹log(x - 4) y - 4 = -2•⁹log(x - 4) -0,5y + 2 = ⁹log(x - 4) 9^{-0,5y + 2} = x - 4 x = 4 + 9^{-0,5y + 2}

toetje.

Als je klaar bent kun je soms de formule voor x nog wat "netter" gaan schrijven. Er kan ook in een opgave gevraagd worden om de formule voor x in een bepaalde vorm te geven. Daarvoor zul je de rekenregels voor machten en logaritmen die je hebt geleerd moeten gebruiken.
De twee voorbeelden hierboven zouden er ook zó kunnen uitzien:

Voorbeeld 1 (vervolg): Gegeven y = 6 + 3 • 2^{0,5x - 1}. Schrijf deze formule in de vorm x = ^alog(by + c) Dan zou je na het eerste deel hierboven zó verder moeten gaan:
	x = 1 + ^0,5log(¹/₃y - 2) x = ^0,5log(¹/₂) + ^0,5log(¹/₃y - 2)x = ^0,5log(¹/₂ • (¹/₃y - 2)) x = ^0,5log(¹/₆y - 1) Dus a = ¹/₂en b = ¹/₆en c = 1

*Voorbeeld 2 (vervolg): Gegeven is y = 4 - 2 • ⁹log(x - 4). Schrijf deze formule in de vorm x = a + b • g^y* Dan zou je na het eerste deel hierboven zó verder moeten gaan:
	x = 4 + 9^{-0,5y + 2} x = 4 + 9^-0,5y• 9² x = 4 + (9^-0,5)^y • 81 x = 4 + 81 • (¹/₃)^y Dus a = 4 en b = 81 en g = ¹/₃

't Kost even meer moeite, maar dan héb je ook wat...

Een ander grondtal.

In plaats van het meest logische grondtal te kiezen om een macht te laten verdwijnen kun je natuurlijk ook gewoon een ander grondtal kiezen.
Stel dat het eerste voorbeeld hierboven er zó had uitgezien:

Gegeven y = 6 + 3 • 2^{0,5x
- 1}. Schrijf deze formule in de vorm x = log(by + c)
(Dat "log" betekent in dit geval ¹⁰log(by + c), dat wist je hopelijk nog wel....)
Dan gaan de beginstappen het zelfde:

y = 6 + 3 • 2^{x - 1}y - 6 = 3 • 2^{x
- 1}
¹/₃y - 2 = 2^{x
- 1}

Maar nu doe je niet beide kanten ^"2log", maar in plaats daarvan gewoon ¹⁰log:

log(¹/₃y - 2) = log(2^{x
- 1})
log(¹/₃y - 2) = (x - 1)log(2)
log(¹/₃y - 2) = xlog(2) - log(2)
log(¹/₃y - 2) + log(2) = xlog(2)
log(²/₃y - 4) = xlog(2)
x = log(²/₃y - 4)/_log(2) = ¹/_(log(2) · log(²/₃y - 4) ≈ 3,32 · log(²/₃y - 4)

OPGAVEN

Druk x uit in y:

y = 3 + log(x + 2)

y = 2 - 4 • 5^x+1

y = 3 • log(¹/₄x) - 2

Schrijf y = 4 + 3 · 5^x in de vorm x = ²log(by + c)
Rond de constanten indien nodig af op twee decimalen.

Schrijf y = 6 - 8^{x + 2} in de vorm x = a · log(by + c)
Rond de constanten indien nodig af op twee decimalen.

Geert en Cobi zijn twee erg regelmatige en erg gezellige wijndrinkers. Eind 2005 weet Geert nog snel belastingvrij twee vaten wijn met elk 500 liter op de kop te tikken. Zo hebben ze elk hun eigen vat.
Hij de Médoc, zij de Bordeaux.
Geert begint het nieuwe jaar direct aan zijn vat. Hij houdt van regelmaat en drinkt elke dag 0,8 liter op.
Cobi heeft zich weer eens voorgenomen te stoppen met alcohol. Ze houdt het inderdaad een hele tijd vol, maar na precies 100 dagen in het nieuwe jaar wordt het haar teveel.

Op dag 101 breekt ze ook haar vat aan, en ze zet het die dag meteen flink op een zuipen.
Om toch wat te minderen heeft ze een slim plannetje bedacht: ze drinkt elke dag 0,5% van de hoeveelheid die in het vat zit. Die hoeveelheid neemt langzaam af, dus ook de hoeveelheid die ze drinkt. Slim hé?
Noem de hoeveelheid in de vaten van Geert en Cobi respectievelijk G(t) en C(t)

De volgende formule blijkt te gelden: C(t) = 825,4 • 0,995^t waarbij t het eind van de dag voorstelt.

Leid deze formule zelf af.

Bepaal op welke dag de vaten van Geert en Cobi even vol zullen zijn.

Volgens de richtlijnen van de AA is iemand alcoholist als zij meer dan 0,8 liter per dag drinkt.

Bereken algebraïsch hoe lang Cobi volgens deze normen alcoholist zal zijn.

Cobi wil graag direct weten wanneer er nog een bepaalde hoeveelheid wijn in haar vat zit. Daartoe ontwikkelt zij de formule: t = 1340 - 460 • log(C)
Bereken de beide constanten in deze formule in twee decimalen, en bereken daarmee het antwoord op vraag b) nogmaals.

De antropoloog Ehrenberg stelde een verband vast tussen de lengte (h in m) en het gewicht (w in kg) van kinderen tussen 5 en 13 jaar. Hij vond: log w = 0,8h + 0,4
Deze relatie blijkt alom te gelden, onafhankelijk van de sociale klasse of het ras van een kind. De WHO (World Health Organisation) gebruikt deze relatie om ondervoeding bij kinderen vast te stellen.

Bereken algebraïsch het normale gewicht van een kind van 124 cm lang.

24,7 kg

Deze relatie is te schrijven als w = a • g^h
Toon dat aan, en bereken a en g.

a≈2,51 en g≈6,31

Ehrenberg zelf presenteerde zijn relatie als log w = 0,8h + 0,4 ± 0,04, waarmee hij aangaf binnen welke grenzen een kind als normaal gezien kon worden.

Een bepaald kind heeft een lengte van 154 cm en een gewicht van 35 kg. Dat is te licht. Het wordt daarom als ondervoed beschouwd.

Hoe zou het gewicht van het kind moeten veranderen om binnen de normale grenzen te komen?

Het kan echter ook zijn dat de lengte verkeerd is gemeten! Hoe zou de lengte moeten veranderen om met dit gewicht binnen de normale grenzen te komen?

Hoe zou je de ± 0,04 in de constanten in de formule van vraag b kunnen opnemen?