Meer opgaven
       
       
Druk x uit in y:  
       
  a. y = 2 + log(x - 1)
       
  b. y = 1 - 2 • 3x+4
       
  c. y =  4 • log(1/2x) - 1
       
a Schrijf   y =  2 + 3 · 4x  in de vorm    x = 4log(by + c)
Rond de constanten indien nodig  af op twee decimalen.
       
  b. Schrijf    y = 10 - 4x + 3  in de vorm   x =  a · log(by + c) + c
Rond de constanten indien nodig af op twee decimalen.
       
Een nogal wiskundig ingestelde ouder, Frits,  besluit dat zijn kinderen (de tweeling Guus en Nadine)  zelf mogen kiezen hoeveel zakgeld ze krijgen. Nou ja, niet helemaal natuurlijk, hij biedt ze twee mogelijkheden.
Optie A is dat je elke week gewoon  €10,- krijgt.
Optie B is dat je begint met  €2,-  maar vervolgens elke week een opslag van 2,5% krijgt vergeleken met de vorige week.
Guus kiest optie A en Nadine kiest optie B.
Noem de hoeveelheid zakgeld die ze krijgen  daarom  G(t) en N(t) waarbij t de tijd in weken is, met t = 1 de eerste keer dat ze zakgeld krijgen.

De volgende formule blijkt te gelden:  N(t) = 1,9512 • 1,025t .
       
  a. Leid deze formule zelf af.
       
  b. Bepaal in welke week Nadine en Guus evenveel zakgeld krijgen.
       
  c. Bereken in welke week Nadine  €0,30 opslag krijgt.
       
  Nadine wil graag direct weten wanneer ze een bepaalde hoeveelheid zakgeld zal krijgen. Daartoe ontwikkelt zij de formule:   t = 27 - 93 • log(N)
       
  d. Bereken de beide constanten in deze formule in twee decimalen, en bereken daar het antwoord op vraag b) nogmaals mee.
       
In een tuincentrum verkoopt meen erg veel  Portugese laurierbomen  (Prunus lusitanica).
Het is een sierlijke boom die tot wel 6 meter hoog kan worden.

Een medewerker stelt een verband op tussen de stamdikte  D (dat is de omtrek van de stam in cm, gemeten op 1 meter boven de grond) en de hoogte van de boom (h in cm).
Hij vond:  log h = 0,021 · D + 2,26.
Deze formule is geldig voor bomen met diameters tussen
       
  a. Bereken algebraïsch de hoogte van een boom met stamdikte 6 cm.
       
  b. Deze relatie is te schrijven als  h = a • gD
Toon dat aan, en bereken a en g.
       
  Natuurlijk geldt deze formule niet exact voor elke boom. De medewerker gaf zijn formule oorspronkelijk als 
log h = 0,021 · D + 2,26 ± 0,05  waarmee hij aangaf binnen welke grenzen een boom als normaal gezien kan worden.

Als een boom niet normaal is dan mag hij niet worden verkocht. Dat kan zijn omdat de stam veel te dik (en de boom niet hoog genoeg, en is hij onvoldoende ontwikkeld), maar ook omdat de stam te dun is (en de boom dus te hoog en is hij "doorgeschoten").

Een bepaalde boom heeft een stamdikte van 12 cm en een hoogte van 280 cm. Dat is te laag. De boom wordt daarom niet goedgekeurd voor de verkoop.
       
  c. Hoe zou de lengte van de boom moeten veranderen om met deze stamdikte wel verkocht te mogen worden?
       
  d. Hoe zou de stamdikte moeten veranderen om met deze lengte binnen de normale grenzen te komen?
       
  e. Hoe zou je de  ± 0,05 in de constanten in de formule van vraag b kunnen opnemen?
     
       
5. Examenvraagstuk (gewijzigd).

Wijken in een stad die dichter bij het centrum liggen zijn dichter bevolkt dan wijken verder van het centrum af. In 1950 begon men een onderzoek naar het verband tussen de bevolkingsdichtheid in een stad en de afstand tot het stadscentrum. De bevolkingsdichtheid D in een punt P is het aantal inwoners in een cirkelvormig gebied rond P met een oppervlakte van 1 km2. In de figuur hiernaast zie je een grafiek die voor een bepaalde stad het verband tussen de afstand x tot het stadscentrum (in km) en de bevolkingsdichtheid D weergeeft. Uit deze grafiek kun je aflezen dat op een afstand van 4 km van het stadscentrum de bevolkingsdichtheid gelijk is aan 10000 inwoners per km2 .

Bij de getekende grafiek hoort de formule  D = a • 2-bx .
Hierin zijn a en b constanten.

       
  a. Bereken met behulp van de figuur de waarden van a en b. Rond in je antwoord gevonden waarden die niet geheel zijn af op twee decimalen.
       
  Voor een andere stad heeft men het volgende lineaire verband tussen 3log(D) en x gevonden:  3logD = 9 - 0,2x 
       
  b. Toon algebraïsch aan dat bij benadering geldt:  D = 19700 • 0,8x
       
  c. Hoeveel meter moet je vanuit het centrum van een stad weglopen om de bevolkingsdichtheid te laten halveren? Geef een exacte berekening met behulp van de formule in vraag b)
       
6. In de 18e eeuw al vonden de astronomen Titius en Bode een verband tussen het nummer (n)  van een planeet en de afstand tot de zon (R). Daarvoor moet de afstand R worden gemeten in A.E.  (zgn. astronomische eenheden, met 1A.E. = afstand aarde-zon = 150 miljoen km).
Dat verband was:   R(n) = 0,4 + 0,3 • 2n
       
  a. Saturnus  heeft afstand  1490 miljoen kilometer tot de zon. Welk nummer hoort bij Saturnus?
       
  b. De volgende formule geeft je het nummer van een planeet als zijn afstand (in A.E.) bekend is:
n(R) = 1,7 + 3,3log(R - 0,4)
De getallen 1,7 en 3,3 daarin zijn afgeronde getallen.
Bereken deze getallen in drie cijfers achter de komma.
       
7. Voor de filmgevoeligheid van een filmrolletje zijn er twee verschillende schalen in omloop.
ASA (American Standard Association) en DIN (Deutsches Institut für Normung) berusten op de kleinste hoeveelheid licht die nog een afdruk op de fotografische film doet ontstaan.
Om de schalen in elkaar om te rekenen kun je de volgende formule gebruiken:
DIN = 15 + 3 • 2log(ASA/25)
       
  a. Toon aan dat deze formule ook te schrijven is als DIN = p • logASA + q
       
  b. Toon aan dat deze formule ook te schrijven is als  ASA = a • 2b • DIN 
       
  c. Leg met beide formules (van vraag a) en van vraag b))  uit hoeveel groter DIN wordt als ASA verdubbelt.
       
8. Boerenkool smaakt lekkerder als er "een nacht vorst overheen is geweest". Daarom stop ik gekochte boerenkool altijd direct in mijn vriezer. Voor de temperatuur van de boerenkool in de vriezer geldt:  T(t) = 35 • 2-0,5t - 16.
Daarin is t de tijd in uren met t = 0 het moment dat ik de boerenkool in de vrieskist stop.
       
  a. Op welke temperatuur is de vrieskist ingesteld? En welke temperatuur heeft de boerenkool op t = 0?
       
  b. Na hoeveel minuten is de temperatuur 4 ºC?
       
  c. De formule is te herleiden tot  t = a • 2log(bT + c) .  Bereken a, b en c.
       
9. Hiernaast zie je drie groeicurves voor meisjes tussen 1 en 12 maanden oud. De rode grafiek is het gemiddelde, onder de groene grafiek ligt 5% van de meisjes, en boven de blauwe ligt ook 5%

Bij de rode grafiek hoort de vergelijking:
G = 6,52•log(t + 1,82) + 1,56

Deze vergelijking is ook te schrijven als:  G = 6,52 • log(at + b)
     
  a. Toon dat aan en bereken a en b.
       
  Bij de blauwe grafiek hoort de vergelijking: G = 7,82 • log(t + 1,82) + 1,87
Deze vergelijking is ook te schrijven als  t = a • bG + c
       
  b. Toon dat aan en bereken a en b en c.
       
10. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1989.

Van een diersoort in een bepaald gebied wordt het aantal N afhankelijk van de tijd t bekeken. Er blijkt dat log N lineair afhangt van log t volgens de formule:  logN = 3 + 0,75 • logt  voor t ≥ 1
N kan geschreven worden in de vorm N = a • tb .
       
  a. Bereken a en b.
       
  b. Toon aan dat er sprake is van afnemende groei.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)