Webgrafieken en Tijdgrafieken.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
 
Laten we eens een eenvoudige recursievergelijking bekijken:

u(n) = 0,6 • u(n - 1) + 80   met  u(0) = 0

Invoeren in de GR en dan een tabel voor de u(n) bekijken levert het volgende 

Van deze laatste tabel kunnen we natuurlijk ook een grafiek maken (dat kunnen we namelijk van elke tabel).
Op de x-as komt n te staan en op de y-as u(n).
Dat betekent wel dat de grafiek zal bestaan uit een aantal losse stippen, omdat de x-waarden (de n) alleen gehele getallen kunnen zijn. Hieronder staan de eerste 10 stippen getekend. Zo'n grafiek heet een tijd-grafiek. Je kunt er in zien hoe u(n) zich ontwikkelt.

Het lijkt er in bovenstaande grafiek op dat de waarde van u(n) op den duur naar een constante waarde toe gaat lopen. Als we de tabel voor grotere n-waarden bekijken vermoeden we dat de u(n) op den duur gelijk gaat worden aan 200. (een soort horizontale asymptoot in de tijd-grafiek).
Maar wij als echte wiskundigen zitten nog wel met een paar pijnlijke vragen, nl:

"Hoe tonen we aan dat dat inderdaad naar 200 toe gaat?"
"Is dat voor andere waarden van u(0) ook zo?"
Een mooie manier om antwoord op deze intelligente vragen te geven is het maken van een WEBGRAFIEK.
Dat gaat als volgt.
Vergelijk de formule    u(n) = 0,6 • u(n - 1) + 80  met  y = 0,6x + 80
Als x dan een u(n - 1) is, dan is y de bijbehorende u(n), dus dat betekent:
Als x een bepaalde u is, dan is y de volgende u
Dat geeft de mogelijkheid om de tabel van de u(n) waarden in een grafiek weer te geven.
Het werkt als volgt:

Begin met u0 = 0 op de x-as
Ga naar de grafiek van de lijn, dan vind je u1 = 80 op de y-as.
Vanaf u1 = 80  op de x-as vind je op dezelfde manier u2 = 128 op de y - as.
enz.

Kortom: je vindt steeds de volgende u op de y-as en die neem je over op de x-as om de daaropvolgende u weer te vinden.

Een handig systeem, met als enige nadeel dat je steeds een waarde van u van de y-as moet overnemen op de x-as (de blauwe lijnen hiernaast).

DAT KAN HANDIGER !!!
De grote truc hier is: teken de lijn y = x in de figuur.
Daarmee kun je handig een getal van de y-as overbrengen naar de x-as.
De kromme blauwe lijnen hierboven zijn hiernaast vervangen door rechte blauwe lijnen.

Begin bij u0 = 0 op de x-as.
De rode pijl omhoog geeft u1 = 80 op de y-as.
De blauwe pijlen geven u1 = 80 op de x-as
ga weer omhoog en de rode pijl geeft u2 = 128 op de y-as.
Daarna weer via blauw naar u2 = 128 op de x-as

enz.

Alle stippellijnen in de figuur hiernaast zijn eigenlijk overbodig, dus die laten we weg.
Dat geeft de webgrafiek hiernaast.
Merk op dat de rode lijnen steeds een volgende  u berekenen en dat de blauwe lijnen deze u naar de x-as overbrengen.

Op de x-as zien we de achtereenvolgende u-waarden verschijnen.

Met de GR vinden we zo'n webgrafiek als volgt:
• voer de recursievergelijking in  (mode - seq)
• 2nd FORMAT - Web
• WINDOW  x en y tussen 0 en 250
• GRAPH
• 2nd - CALC  - value  en dan bijv. n = 4

Dat geeft 4 stappen:

Als je je bedenkt dat ook op de y-as van een webgrafiek de waarden van un staan, dan kun je uit een webgrafiek ook grafisch in één keer een tijdgrafiek maken. Het volgende plaatje zal dat waarschijnlijk wel duidelijk maken.

 
 
  OPGAVEN
       
1. Teken de eerste vier stappen in een webgrafiek voor de recursievergelijking  u(n) = 0,9u(n - 1) + 10  met  u0 = 10.
       
2. a. Teken de eerste vier stappen van de tijdgrafiek die bij onderstaande webgrafiek hoort.
       
 

       
  b. Als je oneindig veel stappen zou tekenen, wat zijn dan de mogelijke waarden voor u¥?
Geef dat aan in de grafiek
       
3.

Gegeven is de rij getallen un met recursievergelijking  un =  Ö(un - 1 ) + 4
       
  a.             Bereken in vier decimalen nauwkeurig  u10  als  u0 = 1
   

2,9784
   b. Deze rij nadert naar een grenswaarde. Bepaal deze grenswaarde eerst met je GR en daarna exact algebraïsch.
     

G = 3
  Hieronder staan in de linkerfiguur de grafieken van y = x en  y = 10/(x + 1)2  getekend.
       
 

       
  c. Teken in deze figuren de eerste 4 stappen van een webgrafiek en van een tijdgrafiek als u0 = 1. Doe dat zonder berekeningen te maken.
   
4.

Gegeven is de rij getallen un  met  un = un - 12 – 10un - 1 + 28    

       
  a. Neem u0 = 2,2 en bereken  u20 in vier decimalen nauwkeurig.    
       
  Hieronder zie je de grafieken van y = x en y =  x2 – 10x + 28
       
  b. Neem u0 = 3,5 en teken 4 stappen van de webgrafiek. Teken ook vier stappen  van de tijdgrafiek in de rechterfiguur.
       
 

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)