wortels vereenvoudigen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Wortels vereenvoudigen.

Wiskundigen willen graag een getal met een wortel steeds zo eenvoudig mogelijk weergeven.
Eigenlijk bedoelen ze ook "zo mooi mogelijk"

Dat betekent eigenlijk twee dingen:

1. Onder het wortelteken een zo klein mogelijk getal.
2. Geen wortels in de noemer.

Zo vinden we bijvoorbeeld Ö80 geen mooi antwoord op een vraag, omdat je dat kleiner kunt schrijven, kijk maar:
Ö80 = Ö(16 × 5) = Ö16 × Ö5 = 4Ö5
Dus:

Laten we één voor één kijken hoe we die beide voorwaarden voor elkaar kunnen krijgen.

1. Onder het wortelteken een zo klein mogelijk getal.

We zagen net al: √80 = √(16 • 5) = √16 • √5 = 4√5
Maar ja, dan moet je wel die 16 en 5 kunnen vinden.

De vorige les was dat gewoon een "beetje proberen", maar als de getallen groter en groter worden is het wel eens moeilijk om zulke kwadraten te vinden
Hoe is het bijvoorbeeld met Ö38808 ????????

Nou: gelukkig is daar een methode voor!

Het heeft te maken met ontbinden in priemfactoren. Als je niet weet wat dat is of hoe dat moet dan moet je eerst dit lesje maar even doornemen.

Als je de 80 in √80 gaat ontbinden in priemfactoren dan krijg je 80 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5
En nou komt het: elke priemfactor die dubbel in dit rijtje voorkomt kun je vóór het wortelteken zetten!
Dat komt omdat √(a • a) = a (tenminste als a groter dan nul is)
Kijk maar: √80 = √(2 • 2 • 2 • 2 • 5) = √(2 • 2) • √(2 • 2) • √5 = 2 • 2 • √5 = 4√5
Die stukjes √(2 • 2) zijn natuurlijk allemaal gelijk aan 2.
Net zo goed als stukjes √(3 • 3) gelijk zouden zijn aan 3, en stukjes √(5 • 5) gelijk aan 5, en ga zo maar door...

Dus:

1. ontbinden in priemfactoren
2. haal de dubbelen uit de wortel.

Laten we dat toepassen op die grote wortel uit het voorbeeld hierboven:

Ö38808 = ?????
eerst maar een delen door 2: 38808 = 2 × 19404
dat kun je wéér door twee delen:   2 × 2 × 9702
dat kun je wéér door twee delen:   2 × 2 × 2 × 4851
dat kun je door drie delen: 2 × 2 × 2 × 3 × 1617
dat kun je wéér door drie delen:   2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 539
dat kun je niet door 5 delen, maar wel door 7 kijk maar:
2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 77
dat kun je wéér door 7 delen:    2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7 × 11
En nou kan het niet korter, dit zijn allemaal priemgetallen..
conclusie:   38808 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7 × 11

Haal nu alle dubbelen buiten de wortel (die heb ik rood gemaakt):
Ö38808
= Ö(2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7 × 11)
= 2 × 3 × 7 × Ö(2 × 11)
= 42Ö22

2. Geen wortels in de noemer.

Een wortel in de noemer van een breuk is een gruwel voor de echte wiskundige. Die wortel moet daar zo snel mogelijk weg!

En dat kan, als je je maar bedenkt dat je van een breuk de teller en noemer best met hetzelfde mag vermenigvuldigen, dan verandert hij niet.
Vermenigvuldig van de breuk hiernaast de teller en de noemer met √3. Dat geeft:

Ook als er meerdere dingen in de noemer staan kun je de wortels weg krijgen. Dat kan door slim gebruik te maken van het feit dat (a - b)•(a + b) = a² - b²
Dat werkt bijvoorbeeld zó:

Je ziet hoe in die noemer (2 - √5) • (2 + √5) verandert in 2² - (√5)² = 4 - 5 = -1
En als er bijvoorbeeld had gestaan √6 + 3 dan hadden we natuurlijk teller en noemer vermenigvuldigd met (√6 - 3)
En als er stond √5 - √2 dan zouden we uiteraard vermenigvuldigen met (√5 + √2)

OPGAVEN


1.	Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk.

	a.	√720	f.	√2205

	b.	√1053	g.	√7623

	c.	√440	h.	√2816

	d.	√24375	i.	√50625

	e.	√1728	j.	√26411

2.	Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk.

	a.	²/_√5	c.	⁴/_√10

	b.	³/_√6	d.	^√2/_√5

3.	Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk.

	a.		d.

	b.		e.

	c.		f.

4.	Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk.

	a.	Ö300 + Ö12	d.

	b.		e.

	c.	Ö320 + Ö45 - Ö125	f.