|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Wat is een deler? Nou ja, het woord zegt het eigenlijk al: een deler van een getal, daar kun je dat getal door delen! En met delen bedoelen we in dit geval dat het antwoord een geheel getal wordt! Dus als iemand op straat je zou vragen "Wat zijn de delers van 24?" Wat is dan daarop jouw antwoord?
(Deze les hebben we het trouwens alleen maar over positieve getallen, dat merk je al wel aan dit antwoord) Wat is een priemgetal?
(een getal dat geen priemgetal is, wordt een
samengesteld getal genoemd).
Deze definitie is niet helemaal goed.........
Wat is er nou zo interessant
aan die priemgetallen?
We letten even niet op de volgorde, want 6 • 2 en 4 • 3 kan
natuurlijk ook. maar dat zijn eigenlijk natuurlijk dezelfde
vermenigvuldigingen. (Verder hebben we de mogelijkheid 12 • 1 ook maar
weggelaten want die is nogal saai....)
Maar die twee mogelijkheden zijn hetzelfde!
Die drie getallen aan de rechterkant van de vergelijking zijn alle drie priemgetallen. Ik hoop dat je dat logisch vindt... Al er een NIET-priemgetal zou staan, dan zou je dat immers nog verder in kleinere getallen kunnen opdelen! Omdat je op deze manier 12 schrijft als product van allemaal priemgetallen heet dit "ontbinden in priemfactoren". Omdat je op deze manier elk getal kunt opdelen in priemfactoren zijn die priemgetallen dus eigenlijk de bouwstenen (wat betreft vermenigvuldigen) van alle getallen die we kennen. Elk bestaand getal kan op deze manier opgebouwd worden uit priemgetallen.
't Is eigenlijk net als in de scheikunde. Daar is elke stof een
molecuul (wat in de wiskunde een getal is).
Maar elk molecuul is opgebouwd uit atomen (dat zijn de
wiskundige priemgetallen). Net zoals je scheikundig
"Water" kunt schrijven als
H2O zou je
wiskundig het getal 45 kunnen
schrijven als 325.
Tijd voor een paar interessante stellingen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Het bewijs komt van Euclides. Bewijs. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Stel dat je een eindig aantal
priemgetallen p1, p2, ...,
pn hebt. Bereken dan het nieuwe getal P = p1 • p2 • ... • pn + 1 Door die "+1" is P is niet deelbaar door één van de bekende priemgetallen. Er zijn dus twee mogelijkheden: óf P is zelf een priemgetal. óf P heeft een priemfactor die nog niet in onze verzameling zat. In beide gevallen hebben we een nieuw priemgetal gevonden. Dus er zijn oneindig veel priemgetallen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
q.e.d. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Laten we nu gaan naar de belangrijkste stelling over priemgetallen. Zo belangrijk dat hij ook wel de "Hoofdstelling van de rekenkunde" wordt genoemd. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Om deze stelling te bewijzen, bewijzen we eerst het Lemma van Euclides, dat zegt: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Bewijs: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Stel dat a niet door p
te delen is, dan is de GGD(a, p) = 1 Maar dan zegt de stelling van Bézout dat er getallen x en y zijn zodat xp + ya = 1 Vermenigvuldig met b: xbp + yba = b ba is door p te delen (gegeven), en xbp is ook door p te delen, dus de hele linkerkant is door p te delen. Dus is de rechter kant óók door p te delen: p is een deler van b. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
q.e.d. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Het lemma kun je natuurlijk
makkelijk uitbreiden tot meer getallen: Als abc deelbaar is door p, dan is (ab)•c deelbaar door p dus is p een deler van (ab) of van c. In het eerste geval is p een deler van a of van b (weer het Lemma) Dus samen geldt nu dat p een deler is van a of van b of van c. Als abcd deelbaar is door p dan is (abc)•d deelbaar door p, dus is..... enzovoort. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Met dit lemma op zak gaan we
terug naar het bewijs van de Hoofdstelling. Eigenlijk moet je twee dingen bewijzen: ten eerste dát er altijd een priemfactorontbinding is, en ten tweede dat die priemfactorontbinding uniek is voor elk getal. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Bewijs. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Er is altijd een priemfactorontbinding. Het bewijs gaat met volledige inductie: Voor n = 2 is er een priemfactorontbinding (duh) Stel dat elk getal p waarvoor 2 < p < n een priemfactorontbinding heeft (inductie-aanname). Bekijk nu het getal n. Als n een priemgetal is, dan heeft het een priemfactorontbinding (namelijk gewoon zichzelf). Als n geen priemgetal is, dan heeft het dus meer dan 2 delers. Noem één van die delers d, dan is n = k • d Maar omdat k en d kleiner zijn dan n hebben zij beiden een priemfactorontbinding (inductie-aanname). Zet die priemfactorontbindingen achter elkaar en je hebt een priemfactorontbinding voor n. Daarmee is het eerste bewijs geleverd. 2. De priemfactorontbinding is uniek Stel n een getal is dat géén unieke priemfactorontbinding heeft, dus n = p1 • p2 • ... = q1 • q2 • .... Haal nu eerst de priemgetallen die aan beide kanten voorkomen weg door daar door te delen. Dan blijft over: pa • pb • ... = qj • qk • ... (nu is dus geen enkele p gelijk aan een q). Maar stel dat daar links nog wat p's zijn overgebleven, dan is dus pa • pb • ... deelbaar door qi Dan zegt het Lemma dat qi een deler is van één van die p's. Maar dat kan niet want die p's zijn priemgetallen! En ze waren allemaal ongelijk aan de q's !! Om precies dezelfde reden kan daar rechts ook geen q meer staan natuurlijk. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
q.e.d. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Grappig voorbeeld van Hilbert. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
De wiskundige David Hilbert
liet met een leuk voorbeeld zien dat dat eenduidig zijn van die
priemfactorontbinding gebruik maakt van de optelstructuur van de
getallen. Dat deed hij met het volgende tegenvoorbeeld. Hij beschouwde de verzameling van alle getallen die te schrijven zijn als n = 3k + 1. (met k een natuurlijk getal) Dat is dus de verzameling {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, ...} Ook binnen deze verzameling kun je gewoon vermenigvuldigen. Dus deze verzameling heeft ook priemgetallen. Maar nu is de priemfactorontbinding niet uniek, want bijvoorbeeld geldt 100 = 4 • 25 = 10 • 10. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||