© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De z-toets.
   
Natuurlijk gaan alle beweringen met getallen niet alleen over kansen of percentages.
Heel vaak wordt iets beweert over een gemiddelde.

Neem bijvoorbeeld de jerrycan met motorolie hiernaast. Op het etiket doet de fabrikant een bewering over een gemiddelde.
Zie je waar?  (ga er anders maar met de muis over).

Tuurlijk:  als er staat dat de inhoud 4 liter is, dan betekent dat echt niet dat er in elke jerrycan precies 4,0000000... liter olie zit. Zo nauwkeurig kan de fabrikant die jerrycans echt niet vullen. Als de "vulmachine" afgesteld staat op 4 liter, dan zal de inhoud door wat willekeurige fluctuaties een beetje rond die 4 liter schommelen.
Als die fluctuaties echt willekeurig zijn, dan beweert de fabrikant eigenlijk dat de inhoud normaal verdeeld zal zijn met een gemiddelde van 4 liter. Hoe slordiger de vulmachine, des te groter zal de standaarddeviatie zijn.
   
De bewering van de fabrikant zou bijvoorbeeld de volgende kunnen zijn:
   

H0:  de inhoud is normaal verdeeld met μ = 4 en σ = 0,2
   
Maar wat gebeurt er als een klant een jerrycan koopt waar maar 3,9 liter blijkt in te zitten? Of 3,8 liter  of  3,7 liter?
Als de inhoud te veel afwijkt van het gemiddelde dan zal zo'n klant de bewering H0 in twijfel trekken en beweren dat m kleiner is dan 4.
   

H1:   μ < 4
   
't Is eigenlijk precies zoals bij de p-toetsen, met als enige verschil dat de figuur die bij de H0-bewering hoort nu geen staafjesdiagram is, maar een klokvorm.

We zijn weer op zoek naar de grenswaarde G waarvoor de  overschrijdingskans (de rode oppervlakte) gelijk is aan het significantieniveau (α, meestal 0,05)
 

Als de meting aan de buitenkant van de G-waarde terechtkomt wordt H0 verworpen, komt hij aan de binnenkant terecht dan wordt H0 aangenomen.
In dit geval moet je om G te vinden oplossen:   normalcdf(0, G, 4, 0.2) = 0,05
Y1 = normalcdf(0, X, 4, 0.2) en Y2 = 0,05 en dan calc → intersect  geeft  grenswaarde G = 3,67

Dus pas bij een inhoud van minder dan 3,67 liter kun je (met 95% betrouwbaarheid) stellen dat de machine op minder dan 4 liter staat afgesteld.
   
tweezijdig toetsen.
Alles wat bij p-toetsen tweezijdig behandeld is, geldt nu gewoon weer. Dus als H1 beweert  μ ≠ ..... dan moet je weer aan beide kanten 1/2α nemen in plaats van α.
 
 
 
  OPGAVEN
   
1. .Een woordvoerder van de politie in Nederland verklaarde in 2011 dat de Nederlandse burgers steeds tevredener over het optreden van de politie werden. Zij wees op een aantal enquêtes tussen 1990 en 2010 die de politie had gehouden waarin aan mensen die contact hadden gehad met de politie  daarvoor een tevredenheidcijfer gevraagd werd.
Het gemiddelde van al die enquêtes was een tevredenheidcijfer van 6,2 met een standaardafwijking van 1,8
Ín 2011 was dat cijfer een 6,9.
Is dat inderdaad voldoende hoger om te kunnen concluderen dat het gemiddelde tevredenheidcijfer hoger is geworden?  Neem een significantieniveau van 5%.
     
2. Een oliebollenbakker beweert dat het gewicht van de oliebollen die hij in zijn kraam verkoopt normaal verdeeld is met een gemiddelde van 70 gram en een standaardafwijking van 8 gram.
Maar als ik een oliebol van hem koop en naweeg dan weegt die slechts 60 gram!! 
Mag is daaruit concluderen dat zijn oliebollen gemiddeld minder dan 70 gram wegen?
     
3. Ik heb 12 zonnecollectoren laten plaatsen en de website van de fabrikant verzekerde mij dat de gemiddelde energieopbrengst op een zonnige dag in juni daarvan gelijk was aan 6000 kWh met een standaardafwijking van 250 kWh.
De leverancier beweerde echter heel stellig dat hij uit ervaring wist dat het hoger was dan die 6000 kWh.
Nou is het vandaag een zonnige dag in juni, dus ik meet maar eens na wat de collectoren vandaag opbrengen.
Dat blijkt 6600 kWh te zijn.
Mag ik daaruit concluderen dat de bewering van de leverancier inderdaad klopt?  (neem α = 0,05)
       
4. De witte eieren die de kippen op een kippenfarm leggen hebben een gewicht dat nor,maal verdeeld is met een gemiddelde van  53 gram met een standaardafwijking van 4 gram.
De eigenaar van de farm vraagt zich af of de bruine kippeneieren het zelfde gewicht hebben.
Hij vraagt zijn buurman, die kippen heeft die bruine eieren leggen, om het gewicht van zo'n bruin ei te meten.
Ze besluiten een significantieniveau van 5% te nemen.

Bij welke gewichten die de buurman meet kunnen ze concluderen dat bruine kippeneieren een ander gewicht hebben dan witte kippeneieren?
     
5.

Bij de firma "Doodaas Uithuizen" kun je dozen met kleine aasvissen (voorns) bestellen.
Op de website wordt vermeldt dat de inhoud  "circa 100 stuks" is.
Doodaas bedoelt daarmee dat het aantal voorntjes in de dozen normaal verdeeld is met een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 8.

Ik koop zo'n doos en daar blijken slechts  86 voorntjes in te zitten

Mag ik naar aanleiding van deze miskoop met 5% significantieniveau concluderen dat het gemiddeld aantal balletjes in de Doodaas-dozen kleiner is dan 100?
(Je mag voor deze opgave aannemen dat het aantal voorntjes niet een geheel aantal hoeft te zijn).

   
6. In een wijk van  Amsterdam is de tijd die basisschoolleerlingen gemiddeld per week buiten spelen normaal verdeeld met ene gemiddelde van  2,6 uur en een standaardafwijking van 0,4 uur.
Dat vindt de buurtvereniging veel te laag dus men begint een reclamecampagne op de basisscholen om buiten spelen te bevorderen.
Na een paar weken blikt bij een enquête de gemiddelde tijd dat de leerlingen buiten spelen 3,2 uur te zijn.
Mag men met een significantieniveau van 5% vaststellen dat de reclamecampagne geholpen heeft?
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)