zwaartepunt grafisch

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Zwaartepunten.

Het zwaartepunt is het punt van een voorwerp ten opzichte waarvan de massa "in evenwicht" is.
Maar ja, wat betekent "in evenwicht"?

Stukje Natuurkunde.

Neem een gewicht van massa M dat zich op vaste afstand r van een draaipunt D bevindt. Dan zal dat gewicht ten gevolge van de zwaartekracht willen gaan draaien. De draaikracht die dat gewicht op punt D uitoefent noemen we in de natuurkunde het "Moment".

Dat moment is groter naarmate het gewicht groter is, maar ook naarmate de afstand r groter is. Kijk maar naar de volgende twee winnaars:

In de bovenste figuur zal, bij gelijke gewichten, de grootste afstand winnen, dus de rechterkant zal omlaag bewegen (dat noemen natuurkundigen trouwens ook wel de "hefboomwet").
In de onderste figuur zal, bij gelijke afstanden, het grootste gewicht winnen, dus de linkerkant zal omlaag bewegen. Het moment (M) van een kracht is evenredig met de afstand (r) en met de grootte van die kracht (F) , ofwel:

Moment: M = F • r

Bedenk goed dat het moment van een kracht altijd ten opzichte van een bepaald draaipunt D wordt berekend.

Bedenk verder dat de kracht loodrecht staat op het lijnstuk waarlangs r gemeten wordt (daar komen we later nog op terug).

Het zwaartepunt (Z) van een voorwerp is nu het punt ten opzichte waarvan de som van alle momenten van alle massadeeltjes van dat lichaam nul is.
Dat betekent dat de totale draaikracht door de zwaartekracht ten opzichte van dat punt Z gelijk is aan nul, dus dat het voorwerp niet zal gaan bewegen (draaien) als het zwaartepunt op zijn plaats wordt gehouden.
In het voorbeeld van de "weegschaal" hierboven zal dat zwaartepunt op de plaats liggen waarvoor geldt
dat M₂ • r₂ = M₁ • r₁

In het algemeen geldt het volgende:

Een voorwerp gedraagt zich alsof alle massa zich in het zwaartepunt bevindt.

Neem het L-vormige voorwerp hiernaast, met zwaartepunt Z.
Als je het aan een willekeurig punt P zou vastprikken, dan gaat het bewegen (draaien om P) totdat Z recht onder P ligt.

Als je het aan punt Z zou vastprikken dan gaat het dus helemaal niet bewegen!

Kijk maar naar de plaatjes hieronder.

Bedenk goed: in dat laatste plaatje rechts kun je de figuur draaien zoals je wilt; hij blijft altijd stilhangen! In elke stand!!!

De volgende vraag blijft nog over:

Hoe vinden we dat zwaartepunt Z?

De truc daarvoor zit hem in de volgende opmerking:

Het zwaartepunt van twee puntmassa's ligt altijd
op hun verbindingslijn.

Dat zagen we hierboven al bij dat stukje natuurkunde waar het zwaartepunt tussen die twee gewichten in lag (we wisten zelfs wáár op de verbindingslijn, namelijk zo dat M₂ • r₂ = M₁ • r₁)

Terug naar die vreemde L-vorm hierboven......

Als je die nou opgedeeld denkt uit twee rechthoeken, zoals hiernaast, en je weet dat elk van die rechthoeken zich gedraagt alsof alle massa zich in het zwaartepunt ervan bevindt, dan zal het zwaartepunt van de L-vorm dus ergens op de verbindingslijn van de zwaartepunten van die twee afzonderlijke rechthoeken bevinden.

Maar uit symmetrie-overwegingen zul je het vast met me eens zijn dat het zwaartepunt van een rechthoek op het snijpunt van de diagonalen moet liggen.
Dus het zwaartepunt van de L-vorm hiernaast ligt ergens op de verbindingslijn van die twee zwaartepunten; die rode lijn hiernaast.

Maar als je de figuur op een andere manier in twee rechthoeken verdeelt geldt volgends dezelfde redenering dat het zwaartepunt óók op de blauwe lijn hiernaast moet liggen.

Er is maar één conclusie mogelijk: het zwaartepunt van de L-vorm is het snijpunt van de rode en de blauwe lijn!!!

Zó dus: leg beide figuren gewoon over elkaar heen:

Door een figuur op verschillende manieren te verdelen in "bekende" figuren waarvan je de ligging van het zwaartepunt weet, kun je dus op deze manier het zwaartepunt van de hele figuur construeren.

Welke "bekende figuren" kennen we ?
Ik denk dat de volgenden wel voor zichzelf spreken:

Dat zwaartepunt van die driehoek is het snijpunt van de lijnen die vanaf een hoekpunt naar het midden van de tegenoverliggende zijde lopen.

Natuurlijk kun je bovenstaande methode vaker toepassen. Als je een lichaam uit DRIE basisvormen opgebouwd denkt, dan bepaal je eerst volgens bovenstaande methode van twee van die drie het zwaartepunt, en teken je dan de verbindingslijn met het derde zwaartepunt, en daarna doe je dat nog een keer met een andere combinatie.

OPGAVEN

Bepaal het zwaartepunt van de volgende figuren door er twee bekende figuren van te maken:

Drie gewichten van 50, 30 en 12 kg staan als in de figuur op een plank.
De gewichten zijn symmetrisch van vorm en de horizontale afstanden tussen de middens is in de figuur aangegeven
De plank weegt zelf 8 kg.

Bereken van deze hele figuur de horizontale afstand van het zwaartepunt tot het linker uiteinde van de plank.

Waar moet je het gewicht van 50 kg in veranderen als het zwaartepunt precies midden op de plank moet komen te liggen?

Teken de plaats van het zwaartepunt van onderstaande figuur als die overal even zwaar is.