regel van l'Hopital


De regel van l'Hôpital.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Onbepaalde vormen.

Als je een limiet probeert te berekenen vul je eigenlijk eerst altijd de waarde van x maar eens in. Je weet immers maar nooit... misschien komt er "gewoon" wat uit... Alhoewel, als dat zo is, dan zou het wel geen opgave zijn trouwens!
Bijna altijd krijg je er een waarde uit die "onbepaald" is. Dat zijn dan meestal twee delen die elkaar "tegenspreken" zoals in deze voorbeelden:

Die ingevulde waarden bestaan allemaal uit twee delen die elkaar tegenwerken.
Bijvoorbeeld van ⁰/₀ wil die bovenste 0 er nul van maken, maar die onderste 0 wil er oneindig van maken.
Van ^∞/_∞ is het net andersom: die bovenste maakt het oneindig groot, die onderste wil er nul van maken.
Dit soort vormen heten "onbepaalde vormen", in tegenstelling tot sommige andere vormen waarvan meteen duidelijk is wat de limiet wordt. Hier zijn er nog een paar:

Daarbij moet je alle getallen als 0, 1, ∞ uiteraard lezen als "gaat naar".

Nou heeft de Fransman l'Hôpital voor twee van die onbepaalde vormen een handige regel gevonden. Zelfs handiger dan de meeste lessen over limieten hiervoor!
Hij bedacht het volgende:

In de gevallen:

geldt:

Daarbij mag a zelfs ∞ of -∞ zijn!! De regel geldt voorlopig in deze twee gevallen, maar we zullen straks zien dat veel andere gevallen zijn te herleiden tot één van deze beiden.
Eerst maar even een paar voorbeeldjes van dit geweldig handige regeltje in werking. De volgende limieten kon je met de theorie van de vorige lessen ook al wel uitrekenen, maar ze zijn nu gewoon veel makkelijker geworden.

Voorbeeld 1. De vorm 0/0

Voorbeeld 2. De vorm ∞/∞

Hier is de regel zelfs twee keer toegepast. Eerst de afgeleides, maar dat gaf weer ^∞/_∞ dus daarna gewoon wéér de afgeleides. Geen enkel probleem!

Maar de regel van l"Hôpital maakt het ook mogelijk limieten te berekenen die we eerst niet konden, kijk maar:

Voorbeeld 3. Een nieuwe limiet!

Producten herleiden.

Als de limiet niet een breuk^f/_g is, maar een product f • g dan kun je op de volgende twee manieren die veranderen in wél een breuk:

In de eerste stap is van xlnx een breuk gemaakt, in de tweede stap is l'Hôpital gebruikt. De limiet moest wel van de bovenkant naar nul, omdat anders lnx niet bestaat (maar dat had je natuurlijk al lang door).

Soms moet je wel een beetje handig kiezen. Neem de limiet van x → -∞ van x • e^x .
Als je die x gaat schrijven als ¹/_x in de noemer, dan blijf je alsmaar door "L'Hôpitallen", kijk maar:

Dat schiet niet op....Het wordt alleen maar erger.....
Maar als je ervoor kiest om e^x in de noemer te zetten in plaats van die x, dan gaat het allemaal een stuk soepeler:

Machten herleiden.

We hebben van de onbepaalde vormen nog over 0⁰ en ∞⁰ en dat soort machten.
Die vorm kun je op de volgende manier handig anders schrijven:

A = e^ln^A

Dat is nogal logisch natuurlijk, maar het helpt wel om dit soort limieten te berekenen.
Het werkt als volgt:

Bij de laatste stap is gebruikt dat ln(x^p) = plnx.
Maar de limiet van die macht kun je apart met l' Hôpital berekenen:

Dus uit de oorspronkelijke limiet komt e⁰ = 1

Bereken de volgende limieten:

¹/₄

∞

-⁵/₈