Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Limieten.

Hoe groot zou eigenlijk 0⁰ zijn?

We weten al dat x⁰ gelijk is aan 1
We weten ook aal dat 0^x gelijk is aan 0.
De GR geeft ook al geen uitkomst: die geeft ERROR: DOMAIN.
Kennelijk kun je 0⁰ niet uitrekenen.

Wat wiskundigen in zo'n geval doen is heel simpel: als x^x voor x = 0 niet bestaat dan gaan we gewoon kijken wat er uitkomt bij x in de buurt van 0.
Kijk maar naar de volgende tabel:

x	*x^x*
0,5	0,7071....
0,2	0,7247....
0,1	0,7943....
0,05	0,8608....
0,01	0,9549....
0,001	0,9931....
0,0001	0,9990....
....	.....

Dat lijkt daar onder in die tabel naar 1 toe te gaan.
Aan de grafiek van f(x) = x^x rechts kun je ook zien dat dat bij x = 0 naar 1 toeloopt (daar op de y-as).
We laten x zo dicht mogelijk bij nul komen, maar net niet gelijk aan nul zélf worden, want dan krijgen we weer ERROR.
Het blijkt dan dat we x^x zo dicht bij nul kunnen laten komen als we maar willen (door natuurlijk een steeds kleinere x te nemen). Die eigenschap noemen we een limiet. In dit voorbeeldgeval zou een wiskundige beweren:

Je spreekt het uit als "De limiet van x naar 0 van x^x is gelijk aan 1".
Alhoewel die 1 zelf nooit bereikt wordt zeggen we toch dat de limiet gelijk aan IS aan 1. Daarmee bedoelen we dus dat we zo dicht bij 1 kunnen komen als we maar willen.
In het algemeen:

betekent:

Als x nadert naar a, dan nadert f(x) naar b.
"Je kunt zo dicht bij b komen als je maar wilt"

Limieten bij de afgeleide.

We zijn dit idee van limiet al eerder tegengekomen, namelijk bij de afgeleide f '.
In de allereerste les over de helling in een punt benaderden we die helling door een punt vlak ernaast te nemen, en dan ^Dy/_Dxte berekenen.

Hoe dichter ernaast hoe beter.....
We kozen een punt ernaast met (x + dx) waarbij we dx zo klein mogelijk wilden kiezen. Maar helemaal gelijk aan nul dat kon niet, want dan kwam er ⁰/₀ uit ^Dy/_D_x en dat bestaat niet.
Eigenlijk namen we dus een limiet van dx naar nul:

Dat werkt bijvoorbeeld voor de afgeleide van f(x) = x² als volgt:

De belangrijkste stap is die bij de rode pijl. Daar deel je teller en noemer door dx en dat mag alleen zolang dx niet nul is!
Maar gelukkig staat er in de limiet dat dx ® 0 dus dx is nooit precies gelijk aan nul, en dus mag je deze stap uitvoeren!
Pas bij de laatste stap kun je de limiet weglaten want nu kun je voor dx wél 0 invullen (er komt nu geen ⁰/₀ meer uit).

OPGAVEN

Bepaal de volgende limieten:

Toon met limieten aan dat de afgeleide van f(x) = x³ gelijk is aan f '(x ) = 3x²

Toon met limieten aan dat de afgeleide van f(x) = ^1/_x² gelijk is aan f '(x ) = ^-2/_x³

Gegeven is de functie:

Bereken achtereenvolgens f(1) en f(0,5) en f(0,1) en f(0,05) en f(0,01) en geef aan de hand van deze waarden een schatting voor de limiet van x naar nul van f(x)

Bereken f(0,000005) en f(0,000001) en f(0,0000005)
Ben je er nog steeds van overtuigd dat je schatting van vraag a) correct is?

Gegeven is de functie f(x) = sin(^p/_x)
Hiernaast staat een tabelletje met een aantal waarden van f(x) in de buurt van x = 0

Het lijkt erop dat de limiet van x naar nul van f(x) gelijk is aan 0

Bereken f(x) voor x = 0,06 en x = 0,007
Leg met behulp van de grafiek van f(x) uit wat hier aan de hand is.

x	sin(^π/_x)
0,1	0
0,05	0
0,01	0
0,001	0
0,0001	0