© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Lineaire Differentiaalvergelijkingen.
       
Laat ik maar direct met de deur in huis vallen:  lineaire differentiaalvergelijkingen (van de eerste orde en eerste graad) zien er zσ uit:
       

y ' +  y • P(x) = Q(x)
       
Stel eerst  y = u • v  met u en v willekeurige functies van x  (dan kunnen we daar later nog wat extra eisen aan stellen).
Invullen:   (u' • v + u • v' ) + u  • v • P = Q
⇒  u • (v' + vP)  + u'v - Q = 0

Kies nu v zσ dat de coλfficiλnt van u nul wordt,  dus  zorg ervoor dat  v' +  vP = 0
Dan geldt direct al  v ' = -vP  ⇒  1/v • v' =  -P   ⇒  lnv = -∫Pdx   ⇒  v =  e -∫Pdx

Dan blijft over:   u'v = Q   ⇒  u' • e -∫Pdx  = Q  ⇒ u' = Q •  e ∫Pdx 
primitiveren:  u =  ∫Q •  e ∫Pdx dx 

En nou maar hopen dat dat te primitiveren is!

Voorbeeld 1.   Los op:   y ' -  3y = e2x
Je ziet dat dit een lineaire differentiaalvergelijking is met  P(x) = -3  en   Q(x) = e2x
v =  e -∫Pdx  = e-∫-3dx = e3x 
u'  = e2x • e-3x  = e-x  dus  u = -e-x + c
De algemene oplossing is dan  y = u • v = ( -e-x + c) • e3x = -e2x + ce3x     
       
snuggere opmerking.
Als de differentiaalvergelijking geschreven is als  x' + P(y) • x = Q(y) dan werkt  x = u • v natuurlijk op precies dezelfde manier:  gewoon x en y verwisselen.  Bedenk goed dat  x' =  1/y'  dus soms kun je een differentiaalvergelijking veranderen naar deze vorm!!!!
       
       
  OPGAVEN
       
1. Los op:
       
  a. y ' - 1/x • y = x2    met  y(1) = 4
       
  b. y' - y/√x  = e2√x  met  y(0) = 2
       
  c. y' + 2xy  = 4x
       
  d. xy' = y + x3 + 3x2 - 2x
       
  e. (x - 2)y' =  y + 2(x - 2)3
       
  f. y' +  1/tanx • y = 5ecosx
       
  g. x3y'  + (2 - 3x2)y = x3
       
2. Los op:
       
  a. ylnydx  + (x - lny)dy = 0
       
  b. ydx + (xy + x - 3y)dy = 0
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)