lineaire combinatie van vectoren

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Lineaire combinaties van vectoren.

Vanaf nu ga ik de dingen uit de vectorruimte gewoon vectoren noemen. Voor het gemak.
Een bepaalde vector v heet een lineaire combinatie van andere vectoren v₁, v₂, ... als hij er simpel gezegd mee "gemaakt" kan worden.
Omdat de enige bewerkingen die we kennen het optellen en het scalaire product zijn, zal dus moeten gelden:

v is een lineaire combinatie van v₁, v₂, ...

v = a • v₁ + b • v₂ + ...

Laten we eens een groepje vectoren nemen. Dat noemen we een stelsel, en om aan te geven dat ze bij elkaar horen zetten we de vectoren meestal tussen accolades
Dan vinden we het natuurlijk erg interessant welke nieuwe vectoren er allemaal met dit stelsel gemaakt kunnen worden.
De verzameling van alle nieuwe vectoren die gemaakt kunnen worden met een stelsel heet het opspansel van dat stelsel en wordt genoteerd als Span(v₁, v₂, ...v_n)
Als we met een bepaald stelsel alle vectoren uit onze vectorruimte kunnen maken, dan noemen we dat stelsel een volledig stelsel. Voor een volledig stelsel geldt dus Span(v₁, v₂, ...v_n) = V.

Dat dat eerste stelsel inderdaad volledig is, is natuurlijk kinderlijk eenvoudig te zien, kijk maar:

Maar hoe zie je dat dat tweede stelsel niet volledig is? Dan moeten er dus vectoren bestaan die niet met deze drie te maken zijn. Laten we een willekeurige combinatie van deze drie vectoren maken:

Als je daar nou een willekeurige vector van wilt maken, dan krijg je een stelsel van drie vergelijkingen voor a, b en c. Als je dit stelsel wilt oplossen (op de manier van deze les uit de voorkennis) dan zie je dat die matrix geen inverse heeft (de determinant is nul) dus heeft dit stelsel geen of oneindig veel oplossingen. Er zijn dus zeker vectoren te vinden die niet te maken zijn uit deze basis. Sterker nog: de meesten zijn niet te maken; alleen sommigen die toevallig voldoen aan twee van de drie vergelijkingen wel.

Een stelsel heet vanaf nu afhankelijk als een vector ervan opgebouwd kan worden uit de andere vectoren van het stelsel. Netter geformuleerd: {v₁, v₂, ...v_n} is afhankelijk als er een v_i is die als lineaire combinatie van de overige v's te schrijven is.

Een paar nuttige stellingen.

Stelling 1.
De volgende twee uitspraken zijn gelijkwaardig:

bewijs van links naar rechts uit het ongerijmde
Neem aan dat het stelsel onafhankelijk is
Stel dat c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n = 0 en dat er een c_i is die niet nul is.
Deel dan alles door deze c_i:

Maar dan is het stelsel afhankelijk, want nu is v_i een lineaire combinatie van de andere v's. Dat is in tegenspraak met het gegeven dat het stelsel onafhankelijk is. Dus er bestaat niet zo'n c_i die ongelijk aan nul is, dus ze zijn allemaal nul.

bewijs van rechts naar links uit het ongerijmde:
Neem aan dat de rechteruitspraak klopt.
Stel dat er een v_iis die op te bouwen is uit de andere v's. Dus dat geldt v_i = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n
Dan is c₁v₁ + c₂v₂ + ... + -v_i + ... + c_nv_n = 0 en dat is een lineaire combinatie waarvan niet alle coëfficiënten nul zijn.
Alweer een tegenspraak dus dat kan niet, dus is het stelsel onafhankelijk

voorbeeldje met deze stelling.

De determinant van die matrix is 1, en dat is niet gelijk aan nul, dus het stelsel heeft één oplossing. Maar die oplossing die zien we meteen: c₁ = c₂ = c₃ = 0. Dus het stelsel is onafhankelijk.

Een onafhankelijk en volledig stelsel noemen we vanaf nu een basis.

Gevolg.
Een direct gevolg van deze stelling is:

Een stelsel is afhankelijk
⇔
Minstens één van de vectoren is als lineaire combinatie van de anderen te schrijven

(de bewijzen daarvan gaan precies hetzelfde als de bewijzen van stelling 1)

Stelling 2.

Als {v₁, v₂, ..., v_n} een basis is,
dan kan elke v op precies één manier als lineaire combinatie van deze v_i' s geschreven worden.

bewijs
Een basis is volledig, dus kan iedere v in ieder geval op minstens één manier opgebouwd worden met v_i.
Hoe zien we dat er niet méér manieren zijn?
Stel dat v = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n en ook   v = d₁v₁ + d₂v₂ + ... + d_nv_n
Trek die van elkaar af:    0 = (c₁ - d₁)v₁ + (c₂ - d₂)v₂ + ... + (c_n - d_n)v_n
Maar volgens stelling 1 geldt dan   c₁ - d₁ = 0 en c₂ - d₂ = 0 en .... c_n - d_n = 0
Dus is c₁ = d₁ en c₂ = d₂ en.... c_n = d_n   dus er is maar één manier.

Stelling 3.
De volgende drie uitspraken zijn gelijkwaardig:

1.    {v₁, v₂, ..., v_n} is een basis
2.    {v₁, v₂, ..., v_n} is minimaal volledig
3.    {v₁, v₂, ..., v_n} is maximaal onafhankelijk

"minimaal volledig" betekent dat elke v die je zou weglaten ervoor zorgt dat het stelsel niet meer volledig is.
"maximaal onafhankelijk" betekent dat elke v die je zou toevoegen ervoor zorgt dat het stelsel niet meer onafhankelijk is.

bewijs.
(1) ⇒ (2): Als je uit de basis een willekeurige v_i weglaat, dan kun je met de overgebleven v's die v_iniet meer maken (immers een basis is onafhankelijk). Dus zijn die overgebleven v's geen volledig stelsel meer..

(2) ⇒ (1): Stel dat het stelsel minimaal volledig is. Als het stelsel afhankelijk zou zijn, dan kun je een v_iopbouwen uit de anderen, dus als je hem weg zou laten is het stelsel nog steeds volledig. Dat is in tegenspraak met het minimaal volledig zijn, dus is het stelsel onafhankelijk. Dus is het een basis

(1) ⇒ (3): Stel dat het stelsel een basis is. Als je een v zou kunnen toevoegen waarmee het nieuwe stelsel nog steeds onafhankelijk zou zijn, dan kun je die v dus niet opbouwen uit het oude stelsel. Dus is dat oude stelsel niet volledig. Maar dat is in tegenspraak met het feit dat het een basis was. Dus kun je geen v toevoegen waarmee het stelsel nog steeds onafhankelijk zou zijn. Dus het is maximaal onafhankelijk.

(3) ⇒ (1): Stel dat het stelsel maximaal onafhankelijk is. Dan is er dus geen nieuwe v te vinden die niet op te bouwen is uit dit stelsel (want dan zou je die kunnen toevoegen en zo een groter onafhankelijk stelsel krijgen). Dus zijn alle v's op te bouwen uit dit stelsel. Dus is het stelsel volledig. Dus is het een basis.

(2) ⇒ (3) want (2) ⇒ (1) en (1) ⇒ (3).
(3) ⇒(2) want (3) ⇒ (1) en (1) ⇒ (2).

OPGAVEN

1.	We bekijken de vectorruimte van alle reële functies van R naar R op interval 〈0, 1〉 De nulvector is uiteraard de constante functie 0. Onderzoek of het stelsel van de drie functies {¹/_x, ¹/_x², ¹/_{(x - 1)}} onafhankelijk is.

2.	Beschouw de vectorruimte van R over Q. Laat zien dat 1 en √2 onafhankelijke vectoren zijn.