© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)

 
1.
In ruimtesondes zoals Voyager, Galileo en Cassini wordt stroom opgewekt door een hoeveelheid plutonium die door natuurlijk verval warmte genereert. Een dergelijke energiebron levert een gering vermogen maar gaat lang mee.

239Pu heeft een halveringstijd van 24 duizend jaar.
Voor het stralingsniveau geldt dan bij benadering (met t de tijd in jaren)   P(t) = P0 • e-0,000029t 

       
  a. Bereken hoe lang het duurt totdat van een hoeveelheid Plutonium nog maar 80% over is.
     

7695 jaar
  b. Neem P0 = 100 en bereken  P'(t) bij t = 20000. Geef een interpretatie van dit getal.
     

-0,0016
       
2.

dr. Marcel Minnaert schreef een echte klassieker: "De natuurkunde van het vrije veld", waarin hij allerlei "alledaagse"
verschijnselen natuurkundig verklaart. Zo ziet iemand die steeds verder een bos inloopt in de verte nog licht van de bosrand tussen de stammen door. Maar die hoeveelheid licht wordt steeds kleiner.
Minnaert vond het verband:  I(l) = I0 • e-NDl 
Daarin is  I de lichtintensiteit, I0 de intensiteit aan de bosrand, N het aantal bomen per m2, D de diameter van een boom op ooghoogte (in m) en l de afstand tot de bosrand (in m).

Een bepaald bos heeft N = 0,9 en D = 0,12.
       
  a. Hoe ver moet je dit bos inlopen zodat nog maar 30% van het licht van de bosrand te zien is?
     

11,15 m
  b. Op welke plaats vanaf de bosrand neemt de intensiteit van het licht van de bosrand af met 1% van I0 per meter?
     

22 meter
       
3.
  Welke fp heeft een extreme waarde bij x = 4?
     

p = 0,25
4.
       
  a. Toon aan dat de grafieken van fp geen extremen hebben.
       
  b. Voor welke waarden van p heeft de grafiek van fp géén snijpunten met de grafiek van y = ex ?
     

p ≥ 2
       
5. Gegeven is de functie:  
 

 
     
       
  a. Geef de coördinaten van het minimum van f.
     

(1, e)
  b. Op de grafiek van f  ligt een punt A met x-coördinaat p en een punt B met  x-coördinaat  -p.
Voor welke p staan de raaklijnen aan de grafiek van f in de punten A en B loodrecht op elkaar?
     

p = 0,5√2
       
6. Gegeven zijn de functies  f(x) = x2 • e -0,5x en  g(x) = (x + 2) • e -0,5x 
De lijn x = p met p > 2 snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in B. 
Bereken de maximale afstand AB.
     

 1,48 (p = 5)
       
7.

Examenopgave  HAVO Wiskunde B, 2008.

De functie f  heeft een voorschrift dat een combinatie is van twee functievoorschriften:
 
  De grafiek van  f  bestaat dus ook uit twee delen.
Deze twee delen sluiten in het punt (2, 3) weliswaar precies op elkaar aan, maar de hellingen van de twee grafiekdelen in dit punt zijn verschillend. Zie de figuur hieronder.
   
  a. Bereken met behulp van differentiëren hoe groot die hellingen zijn
 
 
   

 0.5 en 1
   
  De grafiek uit deze figuur wordt eerst evenwijdig aan de x-as en vervolgens evenwijdig aan de y-as zo verschoven dat de top T van de grafiek in de oorsprong (0, 0) komt te liggen.
  Bij de nieuwe grafiek die daardoor ontstaat, hoort een andere combinatie van twee functievoorschriften
       
  b. Geef een functievoorschrift dat hoort bij het linkerdeel van de nieuwe grafiek. Licht je werkwijze toe.
       
8. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2003

Gegeven is de functie   f (x) = x • e -x
       
  a. Los op:  -0,1 < f(x)  <  0,1. Rond de getallen in je antwoord af op twee decimalen.
     

 <-0.09, 0.11> en <0,38,→>
  b. Bereken algebraïsch de exacte coördinaten van de top van de grafiek van f.
     

 (1,1/e)
  Op de grafiek van  f  ligt rechts van de y-as een punt  A(a , a • e -a). Zie de figuur hieronder.
       
 

       
  De lijn p gaat door de punten O(0,0) en A.  De richtingscoëfficiënt van p is 1/4
       
  c. Bereken a.  Rond het antwoord af op drie decimalen.
     

 1,386
  Een lijn evenwijdig aan de y-as snijdt tussen O en A de grafiek van  f in punt S en de lijn p in punt T.
       
  d. Bereken hoe groot de lengte van ST maximaal is. Rond het antwoord af op drie decimalen.
     

 0,180
       
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2007

Als een patiënt een dosis van een medicijn toegediend krijgt, zal de concentratie van dit medicijn in het bloed eerst toenemen en daarna afnemen. Van een bepaald medicijn wordt de concentratie C (in mg/cm3) in het bloed gegeven door de formule:

C(t) = 0,12 • t • e-0,5t

Hierbij is t het aantal uren na het toedienen van één dosis van het medicijn.

Van dit medicijn is bekend dat het werkzaam is zolang C groter is dan 0,035 mg/cm3. De tijd dat het medicijn werkzaam is bij 1 keer toedienen is minder dan 6 uur.

       
  a. Bereken in minuten nauwkeurig hoe lang het medicijn in dit geval werkzaam is.
     

 343 minuten
  Er geldt:   C '(t) = 0,12 • (1 - 0,5t ) • e - 0,5t 
       
  b. Toon dit aan.
       
  c. Bereken het tijdstip waarop de concentratie het sterkst afneemt.
     

 t = 4
 

Het medicijn wordt in gelijke doses toegediend met tussenpozen van 6 uur. Omdat 6 uur na de eerste keer toedienen van het medicijn een tweede dosis wordt toegediend, geldt vanaf t = 6 tot t = 12 de volgende formule voor de concentratie C* (in mg/cm3) van het medicijn in het bloed:

C*(t ) = C(t ) + C(t - 6)

Bij elke nieuwe dosis verandert de formule voor de concentratie van het medicijn in het bloed. In elke periode van 6 uur heeft de concentratie van het medicijn in het bloed een maximale waarde. De maximale waarde wordt in elke volgende periode van 6 uur iets groter. Het medicijn kan schadelijke gevolgen hebben als de concentratie boven de 0,11 mg/cm3  komt.
       
  d. Onderzoek of dit het geval is binnen 24 uur na het begin van het toedienen van het medicijn.
     

 NEE; 0,1087
       
10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2008.

De functie f is gegeven door f (x) = e-x² . Het punt P(p, e-p² ) ligt op de grafiek van f, waarbij p > 0 .
Onder de grafiek van f  ligt een rechthoek PQRS met P en Q op de grafiek en R en S op de x-as. Dus S is het punt ( p, 0 ). Zie de figuur hiernaast.

Punt P kan zo op de grafiek van f gekozen worden dat PQ = PS.  PQRS is dan een vierkant.

       
  a. Bereken de oppervlakte van dit vierkant.
     

 0,176
  b. Bereken de waarde van p waarvoor de oppervlakte van PQRS maximaal is.
     

 0,5√2
       
11. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2010.

Een condensator is een elektrische component waarin je elektrische lading kunt opslaan.
Iemand heeft een elektrisch circuit met één condensator gemaakt waarin geldt:  als de lege condensator wordt opgeladen, neemt de condensatorspanning toe van 0 tot een limietspanning volgens de formule:
 

  Hierin is:
    U de condensatorspanning in Volt
t de oplaadtijd in seconden en
C de capaciteit van de condensator in Farad
       
  Een condensator met een capaciteit van 0,01 farad wordt in dit circuit opgeladen. In de figuur hiernaast is de grafiek van deze U als functie van t getekend.

     
  a. Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,01 farad toeneemt op tijdstip t = 0 .
   

 -0,6 V/s
  Soms heb je niet direct de beschikking over een condensator met de juiste capaciteit. Om een kleinere capaciteit te krijgen, kun je meerdere condensatoren in serie schakelen.  
  Een serieschakeling van n condensatoren met capaciteiten
C1, …, Cn heeft dezelfde werking als één condensator met capaciteit Cs , waarbij geldt:
   
 
  Zo hebben bijvoorbeeld twee in serie geschakelde condensatoren met een capaciteit van 0,01 farad dezelfde werking als één condensator met een capaciteit van 0,005 farad.
We willen in het bovengenoemde circuit binnen een tijd van 10 seconden een condensatorspanning van minstens 10 volt verkrijgen. We beschikken over een groot aantal lege condensatoren, elk met een capaciteit van 0,01 farad.
       
  b. Onderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken.
     

 4

12. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1989  (gewijzigd).
Gegeven is de functie f(x) = 10xe-x  voor  0 ≤ x ≤  5.
Hieronder is de grafiek van die functie getekend.
       
 

       
  De grafiek van  f  begint in O
       
  a. Bereken de hoek die de grafiek in O met de x-as maakt (in graden nauwkeurig).
     
84˚
  b. Bereken algebraïsch de grootste functiewaarde van f  (in twee decimalen nauwkeurig).
     
3,68
  Op de grafiek van f ligt een punt A zodanig, dat de hellingscoëfficiënt van de lijn OA gelijk is aan 2.
De x-coordinaat van punt A is gelijk aan x = lnp
       
  c. Bereken algebraïsch de waarde van p.
     
p = 5
13. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2015.

Voor a > 1 is de functie fa gegeven door:    fa(x) = a • ex - e2x
De grafiek van fa  snijdt de x-as in het punt S(lna ,0). De grafiek van fa heeft één top: punt T. De loodrechte projectie van T op de x-as is punt U. U ligt links van S op de x-as. Zie de figuur.
       
 

       
  De x-coördinaten van de punten U en S zijn afhankelijk van de waarde van a.
Bewijs dat de lengte van lijnstuk US onafhankelijk is van a.
       
14.
       
  a. Los op:  f(x) = 5/6  
     
x = ±ln3
  b. Toon aan dat de grafiek van f symmetrisch is ten opzichte van de y-as.
       
  c. Bereken algebraïsch de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f,  de x-as en de lijn x = 1
     
(0,25(e - 1/e)
       
15. Gegeven zijn de functies  fp(x) = epx 
De lijn y = e snijdt de grafiek van fp  in het punt A.
Toon aan dat de raaklijn in A aan de grafiek van fp dan altijd door de oorsprong gaat.
       
16. Gegeven zijn de functies  f(x) = e2x  en  g(x) = e4x   
       
  a. Voor welke waarde van x hebben de grafieken van f en g gelijke helling?
       
  b. Voor welke waarde van y is de horizontale afstand tussen de grafieken van f en g gelijk aan 1?
       
17. Op de grafiek van de functie  f(x) = ex  ligt een punt P  met  x-coördinaat p  (p < 1)
De raaklijn in P aan de grafiek van f snijdt de negatieve x-as in punt B en de positieve y-as in punt A.

Bereken de maximale oppervlakte van driehoek OAB.

     
(2/e)
18.

examenvraagstuk WO Wiskunde B, 2018-I.

Voor elke waarde van a met a > 0 wordt de functie fa gegeven door  fa(x) = xeax
In onderstaande figuur zie je voor een aantal waarden van a de grafiek van fa.
Ook is de lijn l met vergelijking  y = 1/e • x  weergegeven.
       
 

       
  Voor elke waarde van a met a > 0 heeft de grafiek van fa precies één top.
Bewijs dat deze top op lijn l ligt.
       
19. Examenopgave  VWO Wiskunde B, 2021-II.

De functie f  is gegeven door  f(x) = e-1/x  voor  x > 0
De raaklijn aan de grafiek van f  in een punt P snijdt de x-as in een punt S.
Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  De x-coördinaat van S hangt af van de positie van P op de grafiek van f.
Er is een positie van P waarvoor de x-coördinaat van S maximaal is.
Bereken exact deze maximale waarde van de x-coördinaat van S.
     
(1/4)
20. Examenopgave  VWO Wiskunde B, 2022-II.

De functie f is gegeven door  f(x) = x • ex

De punten P en Q liggen op de grafiek van f.
De x-coördinaat van P is p en de x-coördinaat van Q is 2p.

Voor een bepaalde waarde van p heeft de lijn door P en Q een richtingscoëfficiënt van 6.

Bereken exact deze waarde van p.
     
p = ln2
21. Examenopgave  VWO Wiskunde B, 2022-III.

De functie f  is gegeven door   f(x) = ex.
Op de grafiek van f  ligt een punt P( p, ep) met p > 0.
Zie de figuur.
       
 

       
  In de figuur zijn ook de vierkanten V en W getekend. Van vierkant V is P een hoekpunt en ligt een zijde op de y-as. Van vierkant W is P een hoekpunt en ligt een zijde op de x-as.
Voor elke waarde van p bekijken we de verhouding:
 

       
  Er is een waarde van p waarvoor R maximaal is.

Bereken exact de maximale waarde van R.
     
R = 1/e2
       
     

© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)