1. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2003
       
  Een speelgoedfabriek maakt onder andere teddyberen. Die teddyberen worden voor 6 euro per stuk verkocht aan de groothandel. In deze opgave bekijken we de productie en de winst van één dag.
Om de winst W te berekenen moeten de totale kosten voor het produceren van de teddyberen, TK, van de totale opbrengst, TO, worden afgetrokken:  W = TO - TK.

De totale kosten die gemaakt worden om de teddyberen te produceren hangen af van het aantal teddyberen dat geproduceerd wordt. De totale opbrengst hangt ook alleen af van het aantal geproduceerde teddyberen, want de prijs is steeds 6 euro.
Voor TO en TK gelden de volgende formules:

TK = 0,1q3 - q2 + 6q + 6
TO = 6q

Hierbij zijn TK de totale kosten en TO de totale opbrengst, beide in duizenden euro, en is q het aantal geproduceerde teddyberen in duizendtallen.

       
  a. Bereken de winst in euro bij een productie van 5000 teddyberen.
     

6500
  In de volgende figuur zijn de grafieken getekend van de totale kosten TK en de totale opbrengst TO.
       
 

       
  De grafieken zijn getekend voor q = 0 tot q = 10, dus voor een productie tot 10000 teddyberen. In de figuur kun je zien dat er geen winst gemaakt wordt bij een te grote of een te kleine productie.
       
  b. Bereken bij welke aantallen geproduceerde teddyberen de speelgoedfabriek geen winst of verlies maakt. Geef je antwoord in een geheel aantal teddyberen.
     

2909 of 9307
  De fabriek wil zoveel mogelijk winst maken. In bovenstaande figuur kun je nagaan door tekenen en aflezen bij welke productie de winst maximaal is.
       
  c. Gebruik de figuur om te schatten bij welke productie de winst maximaal is. Licht je werkwijze toe aan de hand van wat je in deze figuur hebt getekend.
       
  Je kunt ook berekenen bij welke productie de winst maximaal is door de formule voor de winst W te differentiëren.
       
  d. Stel de afgeleide van W op en bereken daarmee de productie waarbij de winst maximaal is. Geef je antwoord in een geheel aantal teddyberen.
     

6667
       
2. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2004

Een afdeling van een schrijfwarenfabriek maakt balpennen. Elke maand worden er ongeveer 100 000 balpenen gemaakt, maar de fabriek kan er meer produceren. Daarom laat de bedrijfsleider onderzoeken of het verstandig is de productie op te voeren.

De bedrijfswiskundige komt met de volgende formules voor de totale opbrengst (TO) en de totale kosten (TK) per maand, waarin q het aantal geproduceerde pennen per maand is.

TO = 0,79q - 0,00000113q2  en  TK = 11600 + 17,9q0,68

Beide formules gelden voor een productie tot 500000 pennen per maand.
       
  a. Teken in één figuur de grafieken van TO en TK, en geef op de q-as aan bij welke aantallen balpennen er winst wordt gemaakt.
       
  b. Bereken hoeveel de winst W stijgt als de productie wordt opgevoerd van 100000 naar 200000 pennen. Rond je antwoord af op honderden euro's.
       
  De bedrijfsleider stelt de productie voorlopig vast op 200000 balpennen per maand. Hij zou de productie verder kunnen opvoeren, misschien levert dat nog meer winst op. Daartoe laat hij de bedrijfswiskundige de formule voor de winst uitschrijven:   W = 0,79q - 0,00000113q2 - 11600 - 17,9q0,68
       
  c. Stel de formule van de afgeleide dW/dq op.
       
  De bedrijfsleider wil de winst zo groot mogelijk maken.
Als de productie toeneemt van 200000 tot 240000 balpennen per maand neemt dW/dq af van ongeveer 0,09 tot ongeveer 0,02.
Op grond van deze informatie over dW/dq zal de bedrijfsleider besluiten de productie wel of niet te verhogen van 200000 naar 240000 balpennen.
       
  d. Wat zal de bedrijfsleider besluiten? Licht je antwoord toe.
       
3. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2009.

Thai-Tee is een onderneming in Thailand die T-shirts produceert voor de Amerikaanse markt.
Thai-Tee kan maximaal 200 000 T-shirts per jaar produceren.
De formules voor de totale opbrengst TO en de totale kosten TK zijn:

TO = 4500q0,89 + 18000q0,56
TK = 0,12q3 − 0,85q2 + 150q + 100000

Hierin is q het aantal geproduceerde T-shirts in duizenden. Dus q is hoogstens 200.
De totale opbrengst TO en de totale kosten TK zijn in dollars.
       
  a. Bereken bij welke aantallen T-shirts er winst wordt gemaakt.
       
  Er bestaan verschillende wiskundige technieken om de productiegrootte te bepalen waarbij de winst maximaal is.
Voor het bepalen van deze productiegrootte bij Thai-Tee kiezen we voor de techniek waarbij de vergelijking TO' = TK' moet worden opgelost. Hierin is TO' de afgeleide van TO en TK' de afgeleide van TK.
       
  b. Stel de formules van TO' en TK' op en bereken bij welk aantal T-shirts de winst maximaal is
       
  Voor de onderneming is het ook belangrijk om te weten wanneer de gemiddelde kosten GK per T-shirt minimaal zijn.
De gemiddelde kosten zijn te berekenen met de formule  GK =  TK/(1000 • q)
Ook hier zijn de totale kosten in dollars en het aantal geproduceerde T-shirts q in duizenden.
       
  c. Bereken bij welk aantal T-shirts de gemiddelde kosten minimaal zijn en wat de gemiddelde kosten per T-shirt dan zijn.