© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
a f(x) = cos(3x) e. y = 5 - 2cos(2px - 3)
         
  b. y = 2sinx + cos(x2) f.  f(x) = sin2(x)
         
  c. f(x) =  sin(x + 3) - 2cos(5 - x) g. y = 2 - sin(x2 + 3)
         
  d. f(x) =  √(cosx) h.  y = 4cosx • sinx
         
Gegeven zijn met domein [0, π] de functies  f(x) = √(6sinx)  en  g(x) = -2cosx
       
  a. Los algebraïsch op  f(x) = g(x)
       
  b. Onderzoek of de grafieken van f en g elkaar loodrecht snijden.
       
Gegeven is op interval [0, 2π] de functie:
 

       
  Bereken algebraïsch de coördinaten van de toppen van de grafiek van f
       
  Het domein is [0, 2π]
       
  a. Bereken algebraïsch de coördinaten van de extremen van de grafiek van f
       
  b. Los op:  f(x) = 1/6.
       
Gegeven is de functie  f(x) = cos 2x - sinx + 1  met domein  [0,2π]
       
  a. Voor welke p heeft de lijn  y = p  precies 4 snijpunten met de grafiek van f(x)?
       
  b. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f  in het punt waarvoor  x = π
     
MEER OPGAVEN
       
6.
  Toon dat aan.
       
7.
  Toon aan dat de grafiek van fa voor geen enkele a een nulpunt én een extreme waarde kan hebben.
       
8. Gegeven is de functie 
 f(x) = 2·cos x + sin 2x + 1  met domein [0,2π]

     
  a. Bereken de coördinaten van het maximum en van het minimum van de grafiek van f.
     
  b. Er is nog een punt van de grafiek met horizontale raaklijn, Geef de coördinaten van dat punt.
       
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2011.

Een gemeente wil in een park een brug over een vijver aanleggen.
De brug moet:
  1. minstens 8,00 meter overspannen (de breedte van de vijver),
  2. maximaal een helling 1/15 hebben (voor mensen in een rolstoel).
       
  In de figuur hieronder staat een schets van een zijaanzicht van de situatie, waarbij de punten waarin de brug horizontaal aansluit op beide oevers steeds A en B genoemd worden. De tekening is niet op schaal.
       
 

       
  In dit zijaanzicht kiezen we een assenstelsel waarin de x-as op de hoogte van beide oevers ligt en de y-as door het hoogste punt van de brug gaat.
We kiezen zowel op de x-as als op de y-as de meter als eenheid. Het zijaanzicht kan nu door een vergelijking in x en y beschreven worden.
 
  zou, bij geschikte keuze van p, aan beide voorwaarden hierboven kunnen voldoen.
       
  a. Bepaal voor welke waarden van p aan eis 1 is voldaan.
       
  b. Bepaal voor welke waarden van p aan eis 2 is voldaan.
       
10. Voor  0 < x < π en  π < x < 2π is gegeven de functie
f(x) = 1/sinx
Zie de grafiek hiernaast.

     
  a. Los op  f(x) > -2
     
  b. Lijn l gaat door beide toppen van de grafiek van f. Bereken de coördinaten van het snijpunt van l met de  y-as
     
  c. De grafiek van g(x) =  p - sin x  heeft precies één punt gemeenschappelijk met de grafiek van  f.
Bereken p.
       
11. Een bromfietsmotor heeft meestal één cilinder waarin een zuiger op en neer beweegt. Het verschil tussen de hoogste en de laagste stand van de zuiger is 16 cm. De zuiger gaat 80 keer per minuut heen en weer. Op t = 0  (t in seconden) bevindt de zuiger zich in het laagste punt. De hoogte van de zuiger in cm ten opzichte van de laagste stand is te beschrijven met de functie: 
h(t) = 8 + 8sin(8,38t - 1,57)

     
  a. Leg uit waar de constanten in deze vergelijking vandaan komen.
     
  b. Bereken algebraïsch  h' (2) en leg uit wat deze waarde voorstelt.
       
12. Gegeven zijn de functies:  gp (x) = sin(px) • cos( x)
       
  a. Neem  p = 1/4  en bereken de periode van g
       
  b. Neem  p = 1/3. Dan is de grafiek van g een sinusgrafiek. Bepaal een mogelijke vergelijking voor deze grafiek.
       
  c. Neem  p = 1/2  en geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van g in het punt waarvoor x = π. Bereken indien mogelijk de getallen in je vergelijking zonder af te ronden.
       
13. Ik kocht op 1 januari 1999  (t = 1)  een pakket aandelen Ajax.  Angstvallig hield ik elke dag de waarde van mijn pakket in de gaten, en ik ontdekte dat die nogal schommelde. Ruwweg is de waarde te benaderen door de sinusoïde die hiernaast is geschetst.
       
  a. Geef een formule die deze waarde (W in euro)  als functie van de tijd (t in dagen) geeft.

     
  Neem voor het vervolg van deze opgave:  
W(t) = 900 + 550•sin(0,03t - 5)
     
  b. Wanneer in het volgende millennium (na het jaar 2000) was mijn pakket voor het eerst  €1300,- waard? Geef een algebraïsche berekening.
     
  c. Op welk tijdstip werd mijn pakket in één dag  €2,-  minder waard?
       
14. Examenvraagstuk.

We bekijken in dit vraagstuk functies van de vorm: 
 f(x) = sin2 x + a • sinx.  Daarbij is  -π ≤  x  ≤  π

In de figuur hiernaast zijn voor een aantal waarden van a de grafieken van f getekend.

     
  a. Kleur in de figuur de grafiek die hoort bij  a = 1/2
     
  b. Bij a = 1 hoort een grafiek die in 4 punten een horizontale raaklijn heeft. Bereken de coördinaten van deze 4 punten,
       
  Voor elke a heeft de grafiek van f een top A bij x = 0,5π  en een top B voor x = -0,5π .
       
  c. Er zijn twee waarden voor a waarvoor top A tweemaal zo ver van de x-as afligt als top B. Bereken die waarden van a.
       
15. Gegeven zijn de functies  f(x) = sinx  en  g(x) = cos2x
Bereken in graden nauwkeurig de hoeken waaronder de grafieken van f en g elkaar snijden voor x tussen 0 en 1/2π
       
16.
       
  a. Toon aan dat geldt:   f '(x) = -1 - (f(x))2
       
  b. Stel dat f(x) = a.
Druk dan tanx uit in a.
       
17. Gegeven is dat  cos(x + α) + cosx  voor elke waarde van x kleiner is dan 1.
Welke waarden kan α aannemen?
       
18. Gegeven zijn op [0, π] de functies 
f(x) = 3sinxcosx  en  g(x) = -2sin2x

Tussen de grafieken wordt een verticaal lijnstuk L getekend. Zie de figuur hiernaast.

Bereken de maximale lengte van L.

       
19.
       
20. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1990.

Voor iedere α ∈ R  is gegeven de functie  fα :    x →  cos(x - α) - sinx   met  x ∈  [0, π].
       
  Voor een waarde van α is hiernaast de grafiek van de bijbehorende fα  getekend.
Het minimum van deze fα wordt bereikt voor x = 2/3π.

     
  a. Bereken dat minimum.
     
  b. Los op:  fα(-α) = 0
       
21. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2012.

     
  Op het domein [0, π] is de functie f gegeven door
f(x) = 2 - 4sin(2x).
De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A en B. Zie de figuur.
     
  a. Bereken exact de x-coördinaten van de punten A en B.
     
  b. Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (0,2).  Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van l met de x-as.
       
22. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1990.

De functie f  is gegeven door
f(x) = sin x + sin(2x)
op het domein [0, π].

In de figuur hiernaast is de grafiek van f getekend.
Deze grafiek snijdt de x-as tussen O(0,0) en A(π,0) in het punt B.

     
  a. Bereken exact de x-coördinaat van punt B.
       
  Voor elke positieve waarde van a is de functie fa gegeven door
fa(x) = sinx + a • sin(2x) op het  domein [0, π].
In de figuur hiernaast  is voor enkele waarden van a de grafiek van fa getekend.
Voor een bepaalde waarde van a heeft de grafiek van fa twee toppen en is de x-coördinaat van een van deze toppen 5/6π .

     
  b. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de x-coördinaat van de
andere top bij deze waarde van a.
       
23. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2013
 

De functie f is gegeven door f (x) = x + cosx en de lijn k is gegeven door y = x - 1. In de figuur zijn de grafiek van f en de lijn k getekend op het interval [0,14].

De grafiek van f en de lijn k hebben op het interval [0,14] twee gemeenschappelijke punten.

     
  a. Bereken exact de coördinaten van deze punten.
       
  In de gemeenschappelijke punten van de grafiek van f en de lijn k raakt de lijn k aan de grafiek van f. In de onderstaande figuur zijn weergegeven de grafiek van f, de lijn k en de lijn l die is gegeven door y = x + 1.

De grafiek van f en de lijn l hebben op het interval [0,14] drie gemeenschappelijke punten en in deze gemeenschappelijke punten raakt de lijn l aan de grafiek van f.

     
  b. Toon dit met behulp van exacte berekeningen en differentiëren aan.
       
  In de figuur hiernaast zijn weergegeven de grafiek van f, de lijn k die is gegeven door y = x - 1 en de lijn m die is gegeven door y = x+ 4.

De functie g is gegeven door 
g(x) = x + 11/2 + a • cosx .
Voor een bepaalde positieve waarde van a raken de lijnen k en m beide aan de grafiek van g.

     
  c. Onderzoek voor welke positieve waarde van a dit het geval is.
       
24. Gegeven is de functie  f(x) = x • sinx  op het domein [0,π]
       
  a. Bereken de maximale helling van de grafiek van f op dit interval.
       
  b. Geef algebraïsch een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt waarvoor x = π/6
Geef de constanten in twee decimalen. Geef algebraïsch een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt waarvoor x = π/6
Geef de constanten in twee decimalen.
       
25. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2015.

Op het domein [0, 2π]  is de functie f gegeven door  f(x) = sin(x) • (sin(x) + 2cos(x))  
In onderstaande figuur zie je de grafiek van f.
       
 

       
  a. Bepaal met behulp van differentiëren een functievoorschrift van de afgeleide functie van f.  Het antwoord hoeft niet vereenvoudigd te worden.
       
  Een functievoorschrift van de afgeleide functie f ' is ook  f '(x) = sin(2x) + 2cos(2x)
Het punt A(π, 0) ligt op de grafiek van f. De raaklijn in A aan de grafiek van f snijdt de grafiek van f in het punt B.
Zie de volgende figuur. 
       
 

       
  b. Bereken de x-coördinaat van B in twee decimalen nauwkeurig.
       
26. Een man staat op afstand 12 m te kijken naar een reuzenrad met 20 stoeltjes. Zijn vrouw zit in het 13e stoeltje als het eerste stoeltje precies onderaan het rad is. Het hoogste punt van het rad bevindt zich 80 m boven de grond en de doorsnede van het rad is 76 m. Neem aan dat de man kijkt vanaf 2 m boven de grond en dat de omwentelingstijd van het rad gelijk is aan 4 minuten.

Het rad draait in de aangegeven richting. Zie de figuur.
       
 

       
  Noem dit moment t = 0  (t in sec) en kies als oorsprong het midden van het rad.
Dan geldt voor de plaats van de vrouw:   x(t) = 38cos(π/120(t + 84))  en  y(t) =  38sin(π/120(t + 84))
       
  a. Toon dat aan.
       
  b. Hoe snel beweegt zijn vrouw zich op dit moment naar hem toe?
       
27. Examenvraagstuk HAVO, 1969

De functies f en g zijn voor 0 ≤ x ≤ π gedefinieerd door:    f(x) = 1 - sinx  en  g(x) = cos2x
       
  a. Los op de vergelijking  f(x) = g(x).
       
  b. De lijn x = p snijdt de grafiek van f  in A en de grafiek van g in B.
De raaklijn in A aan de grafiek van f is evenwijdig aan de raaklijn in B aan de grafiek van g.
Bereken sinp.
28. examenvraagstuk,  VWO, 1971

f is de functie met  [0, 2π] als domein en  f(x) = x + 2cosx
gk is de functie met [0, 2π] als domein en  gk(x) = x - 2sinx + k
       
  a. Bereken de extremen van g2.
       
  b. Voor welke k raakt de grafiek van gk aan de grafiek van f?
       
29. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2017-I
       
  De functies f en g zijn gegeven door:

f(x) = 1/2sin(2x - 2/3π) - 1/4√3
g(x) = sin(x - 2/3π)
   
  In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven op het interval [0, 2/3π].
Verder is de lijn getekend met vergelijking x = p, met 0 < p < 2/3π.
Deze lijn snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B.
       
 

       
  De lengte van lijnstuk AB is afhankelijk van p. Voor een bepaalde waarde van p is deze lengte maximaal.
Bereken exact voor welke waarde van p de lengte van lijnstuk AB maximaal is.
       
30. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2022-I

De functie f is voor −π < x < π gegeven door:
 

       
  De functie g is gegeven door g(x) = sin(x). In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.
       
 

  Bewijs dat de grafieken van f en g elkaar in twee punten raken.
       
31. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1987.

Met domein [-1/2π, 1/2π] is gegeven de functie  f :  x → 3sin3x
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is F de grafiek van f
De grafiek van de functie  x →  pcosx  waarbij  p ∈ R+  snijdt F loodrecht.
Bereken p.
       
   
 
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)