afgekleide van g^x

© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)

In de jaren tachtig heeft men in de Verenigde Staten een vliegtuigje gebouwd dat zonder een tussenstop om de wereld kon vliegen. Het speciaal geconstrueerde vliegtuigje vloog met een constante snelheid in 288 uur rond de aarde.
Vóór de vlucht van het vliegtuigje had men een aantal wiskundige modellen opgesteld voor de brandstofvoorraad B. Die hangt natuurlijk af van het aantal gevlogen uren t. Bij elk van die modellen ging men ervan uit dat het vliegtuigje met 5600 liter brandstof vertrekt en dat er na 288 uur vliegen nog 10% van deze totale brandstofvoorraad aanwezig is voor onvoorziene omstandigheden.

Het gewicht van het vliegtuigje (zonder brandstof) is veel lager dan het gewicht van de 5600 liter brandstof. Tijdens de vlucht wordt het gewicht van 'vliegtuig plus brandstof ' steeds kleiner. Het vliegtuigje zal daarom tijdens de vlucht steeds minder brandstof gaan verbruiken. Het volgende model houdt daar rekening mee.
Bij dit model hoort de formule:

B = 5600 • 0,99204^t

Hierbij is B de brandstofvoorraad in liters na t uur vliegen. De grafiek die bij dit model hoort staat in de volgende figuur.

Zoals je ook in de grafiek van B kunt zien, wordt de brandstofvoorraad voortdurend kleiner.
De afgeleide ^dB/_d_t van de formule voor B geeft aan hoe de brandstofvoorraad verandert. Volgens het model is het brandstofverbruik (in liters per uur) na 24 uur vliegen ongeveer 17% lager dan aan het begin van de vlucht.

Toon dat aan.

Een tweede model is een aanvulling op het eerste model. Hierbij gaat men ervan uit dat na 288 uur vliegen het brandstofverbruik niet meer verandert. Zie onderstaande figuur. Het gewicht van de 560 liter brandstof is nog maar klein vergeleken met het gewicht van het vliegtuig.

Bereken met behulp van de afgeleide ^dB/_d_t hoeveel uur het vliegtuigje nog door kan vliegen na 288 uur.

125 uur

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2008.

Een verzekeringsmaatschappij gebruikt voor een groep van 100 000 pasgeboren meisjes de zogenaamde formule van Gompertz. Het aantal vrouwen L(x) dat na x jaar nog in leven is, kan dan worden berekend door:

Met deze formule kunnen we uitrekenen welke leeftijd door maar 50% van de vrouwen wordt gehaald volgens deze verzekeringsmaatschappij.

Bereken deze leeftijd.

80,19 jaar

Gompertz bestudeerde aanvankelijk de zogenoemde sterfte-intensiteit in plaats van de functie L(x). Deze sterfte-intensiteit S(x) is als volgt gedefinieerd:

Drie wiskunde-A1,2-leerlingen proberen bij een praktische opdracht over overlevingstafels onder woorden te brengen wat de sterfte-intensiteit voorstelt. Dit doen zij zonder de afgeleide van L(x) te bepalen. Ieder van hen komt met een voorstel:
Johan: “De sterfte-intensiteit S(x) is, bij benadering, het aantal overlevenden per sterfgeval na x jaar.”
Fiona: “De sterfte-intensiteit S(x) is, bij benadering, het aantal sterfgevallen per overlevende na x jaar.”
Samira: “De sterfte-intensiteit S(x) is, bij benadering, de afname per jaar van het aantal overlevenden na x jaar.”

Ze kunnen het niet eens worden. Hun wiskundeleraar geeft aan dat één van de drie voorstellen correct is.

Welk van de drie voorstellen is correct? Licht je antwoord toe.

Fiona

De verzekeringsmaatschappij gebruikt een exponentiële functie voor de sterfte-intensiteit S(x). Om te laten zien dat S(x) inderdaad exponentieel is, moet eerst de afgeleide van L(x) worden bepaald.

Toon aan dat voor deze afgeleide geldt:

Met behulp van de formules van L(x) en L'(x) kunnen we nu een formule opstellen voor S(x). Deze formule is te schrijven in de vorm S(x) = b • g^x

Bereken b en g.

0,0000816 en 1,085

In een bepaalde streek in Frankrijk trekt de oorspronkelijke bevolking weg, omdat de economische situatie daar slecht is. De rust van de streek trekt evenwel buitenlanders aan die er gaan wonen. We nemen aan dat na verrekening van de effecten van sterfte en geboorte het volgende model geldt.
Op 1 januari 1965 wonen er in de streek 150000 mensen, uitsluitend oorspronkelijke bevolking. Jaarlijks vertrekt 1% van de aanwezige oorspronkelijke bevolking. Vanaf 1 januari 1965 komen er elk jaar evenveel mensen in de streek wonen: de zogenaamde 'instromers'. Dat constante aantal noemen we c. We gaan er in beide gevallen van uit dat het aantal mensen geleidelijk verandert en niet schoksgewijs.
Op een bepaald moment, het 'omslagmoment', zullen er evenveel oorspronkelijke bewoners als instromers in de streek wonen.

Neem bij de volgende vragen aan dat c = 1000. Zie de figuur hieronder.

Bereken in welk jaar het 'omslagmoment' zich voor zal doen.

2037

Bereken in welk jaar de totale bevolking minimaal zal zijn.

2005

De omvang van de totale bevolking van de streek kan zich na 1 januari 1965 op twee manieren ontwikkelen, afhankelijk van de waarde van c:
1. de omvang van de totale bevolking daalt eerst een aantal jaren en stijgt vervolgens, zoals bij c = 1000
2. de omvang van de totale bevolking stijgt direct vanaf het begin, zoals bij c = 2000.
Zie de figuur hieronder.
We gaan er nog steeds van uit dat het aantal mensen geleidelijk verandert en niet schoksgewijs.

Bereken voor welke waarden van c de totale bevolking na 1 januari 1965 steeds stijgt.

c > 1507,55..

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2022-I

Softwarebedrijven maken nieuwe software maar moeten ook aandacht besteden aan het geven van support aan hun klanten. Het geven van deze support kost bij veel softwarebedrijven steeds meer tijd. Als een softwarebedrijf vervolgens geen nieuw personeel wil aannemen, gaat de toenemende tijd die besteed wordt aan support ten koste van de tijd voor het ontwikkelen van nieuwe software.

Bij softwarebedrijf X-tent-O is geconstateerd dat men, als gevolg van deze toenemende vraag naar support, elke maand 3% minder tijd dan in de maand daarvoor besteedt aan het ontwikkelen van nieuwe software. Zie de figuur.

Na twee jaar moet al meer dan de helft van de beschikbare werktijd besteed worden aan support. En na vijf jaar kan nog maar 16% van de beschikbare werktijd aan het ontwikkelen van nieuwe software besteed worden.

Als er door de toename van de support elke maand 3% minder tijd besteed kan worden aan het ontwikkelen van nieuwe software dan in de maand daarvoor, dan kun je het percentage werktijd P dat aan support wordt besteed, met de volgende formule berekenen:
P = 100 • (1 - 0,97^12t)
Hierin is t de tijd in jaren vanaf de lancering van de nieuwe software.

Uit de figuur blijkt dus dat na twee jaar meer dan de helft van de tijd aan support wordt besteed en dat er na vijf jaar (ongeveer) 16% van de beschikbare werktijd aan nieuwe software besteed wordt.

Bereken met behulp van de formule de procentuele toename van het percentage werktijd dat aan support wordt besteed tussen twee en vijf jaar na de lancering van de nieuwe software. Geef je antwoord in gehele procenten.

62%

Veel beginnende softwarebedrijven houden er binnen een paar jaar mee op, omdat ze zich verkijken op de tijd die in support moet worden gestoken.

Bereken met behulp van de formule hoelang het duurt totdat 90% van het percentage werktijd bij X-tent-O aan support wordt besteed. Geef je antwoord in hele maanden.

76 mnd

Met behulp van de afgeleide van P kan de verandering van het percentage dat aan support wordt besteed, worden bepaald. Die afgeleide is van de vorm P ' = k • 0,97^12t.
Afgerond op één decimaal geldt: k = 36,6 .

Bereken k met behulp van differentiëren. Geef je antwoord in twee decimalen.

36,55

Het percentage werktijd dat aan support wordt besteed heeft, zoals ook in de figuur te zien is, een grenswaarde (van 100%). Dat percentage stijgt afnemend naar die grenswaarde.

Beredeneer aan de hand van de afgeleide van P dat het percentage werktijd dat aan support wordt besteed inderdaad steeds minder sterk toeneemt.